Le foncteur V -> $F_2[V]^{\otimes 3}$ entre $F_2$-espaces vectoriels est noethérien
Résumé
We prove that in the category F of functors between F2-vector spaces, the tensor product between three copies of the standard projective object P : V -> F2[V] and a functor of finite length is noetherian. The only case known to date was the noetherian character of P tensor 2 tensor F for F of finite length. For this wis use several division functors, whose effect on finitely generated functors of F is analyzed with the help of the grassmannian functor categories and facts from modular representation theory of linear groups.
Les foncteurs entre espaces vectoriels, ou représentations génériques des groupes linéaires ([Kuh94a], [Kuh94b]), interviennent en topologie algébrique et en K-théorie comme en théorie des représentations ([FFPS03]). Nous présentons ici une nouvelle méthode pour aborder les problèmes de finitude et la dimension de Krull dans ce contexte. Plus précisément, nous démontrons que, dans la catégorie F des foncteurs entre espaces vectoriels sur F_2, le produit tensoriel entre $P^{\otimes 3}$, où P désigne le foncteur projectif V->F_2[V], et un foncteur de longueur finie est noethérien et déterminons sa structure. Seul était antérieurement connu le caractère noethérien de $P^{\otimes 2}\otimes F$ pour F de longueur finie.
Nous utilisons pour cela plusieurs foncteurs de division, dont nous analysons l’effet sur des foncteurs de type fini de F à l’aide des catégories de foncteurs en grassmanniennes, introduites dans [Dja07b]. Cela nous permet de ramener le problème initial à des calculs explicites finis portant sur des représentations modulaires de groupes linéaires (où intervient notamment la représentation de Steinberg), qui renseignent finalement
sur des phénomènes infinis en théorie des représentations.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)