Inégalités de Poincaré et de Gross pour les mesures de Bernoulli, de Poisson, et de Gauss
Résumé
Les inégalités de Sobolev logarithmiques doivent leur nom à un article célèbre de Gross paru en 1975. Ces inégalités fonctionnelles apparaissent en particulier comme une expression de la propriété d'hypercontractivité de semi-groupes markoviens, comme une traduction de la décroissance exponentielle de l'entropie le long de ces semi-groupes, comme une information de concentration gaussienne de la mesure, et enfin comme une façon de renforcer les inégalités de Poincaré, plus traditionnelles en analyse. Dans cet article, des inégalités fonctionnelles optimales de ce type sont obtenues pour les mesures de Poisson et de Gauss, par tensorisation infinie, à partir d'inégalités optimales pour des mesures de Bernoulli sur l'espace à deux points. Les comparaisons variance-entropie ainsi que certaines propriétés fondamentales de stabilité des inégalités associées sont également abordées. Des preuves par interpolation au moyen de semi-groupes de Markov complètent l'exposé. Le texte se termine par quelques notes historiques et bibliographiques. Cet article de synthèse est une refonte complète du premier chapitre du livre intitulé « Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques », écrit par l'auteur plus de cinq ans auparavant. Il est toujours conçu dans le souci de rester abordable au plus grand nombre, et nécessite assez peu de connaissances préalables en analyse et en probabilités. Les notions introduites possèdent des généralisations, ramifications et applications qui font l'objet de volumineux travaux.