groups acting on the line and the circle with at most N fixed points
action de groupes sur la droite et le cercle avec au plus N points fixes
Résumé
A classical theme in dynamical systems is that the first fundamental information comes from the understanding of periodic orbits. When studying group actions, this means that we want to understand the fixed points of elements of the group, and a natural question that emerges from that is: Which groups of homeomorphisms can act on a 1-manifold having all non-trivial elements with at most N fixed points? Our main objective in this work is to approach that question and understand what properties can such dynamical hypothesis induces to the group.For the case N=0, a classical result from O. Hölder implies that such group of homeomorphisms acting on the line is always semi-conjugate to a subgroup of translations and that such group of homeomorphisms acting on the circle is always is semi-conjugate to a subgroup of rotations. Now, for N>0 there are two classical examples for that question, the action of the affine group on the line, with N=1, and the action of the protective linear group on the circle, with N=2, and if by one hand a result from V. V. Solodov shows that we have a similar classification for group actions on the line which states that if N=1 then the group is either elementary or semi-conjugate to a subgroup of the affine group, by the other hand, N. Kovačević presented new examples of group actions on the circle with N=2 which are not semi-conjugate to any subgroup of the protective linear group, which proves that a similar statement doesn't hold for group actions on the circle.In this work we show that Solodov's result holds even for N=2 and that once included the hypothesis of non-discreteness a similar classification also holds for group action on the circle with N=2. Moreover, inspired by some of the ideas of Kovačević we introduced the concept of amalgamated product of actions of the circle by considering the blow-up of two distinct groups actions and rearranging them so that the minimal invariant set of one group action is included in the complement of the minimal invariant set of the other. This concept proves to be a great tool to create new examples of group actions on the circle which are not semi-conjugate to any subgroup of the protective linear group, and such that every non-trivial element has at most N fixed points, and it also leads to the construction of a second family of examples of group actions where every non-trivial element has at most N fixed points, which are HNN-extensions of actions.Finally, we present examples with high regularity, that cannot be obtained directly by the amalgamated product of actions, of finitely generated groups of diffeomorphisms of the circle where every non-trivial element fixes at most 2 points and which are not semi-conjugate (and even not isomorphic) to any subgroup of the protective linear group. Therefore, we can conclude that only increase the regularity doesn't give us a classification theorem.
Un thème classique dans les systèmes dynamiques est que la première information fondamentale provient de la compréhension des orbites périodiques. Lorsque l'on étudie les actions de groupe, cela signifie que l'on veut comprendre les points fixes des éléments du groupe, et une question naturelle qui en ressort est: Quels groupes d'homéomorphismes peuvent agir sur une variété de dimension 1 ayant tous les éléments non triviaux avec au plus de N points fixes? Notre objectif principal dans ce travail est d'aborder cette question et de comprendre quelles propriétés une telle hypothèse dynamique peut induire sur le groupe.Pour le cas N=0, un résultat classique de O. Hölder implique qu'un tel groupe d'homéomorphismes agissant sur la droite est toujours semi-conjugué à un sous-groupe de translations et qu'un tel groupe d'homéomorphismes agissant sur le cercle est toujours semi-conjugué à un sous-groupe de rotations.Pour N>0 il y a deux exemples classiques pour cette question: l'action du groupe affine sur la droite, avec N=1, et l'action du groupe linéaire projectif sur le cercle, avec N=2.Un résultat de V. V. Solodov montre qu'il y a une classification similaire pour les actions de groupe sur la droite: si N=1, le groupe est ou bien abélien ou bien semi-conjugué à un sous-groupe du groupe affine. Par contre, N. Kovačević a présenté de nouveaux exemples d'actions de groupe sur le cercle avec N=2 qui ne sont semi-conjugués à aucun sous-groupe du groupe linéaire projectif, ce qui prouve qu'une affirmation similaire n'est pas vrai pour les actions de groupe sur le cercle.Dans ce travail, nous montrons que le résultat de Solodov est valable même pour N=2. De plus, sous l'hypothèse additionnelle de non-discrétion, il y a une classification similaire pour les actions de groupe sur le cercle avec N=2. De plus, inspirés par certaines des idées de Kovačević, nous avons introduit le concept de produit amalgamé d'actions du cercle en considérant le blow-up de deux actions de groupes distincts et en les réarrangeant de sorte que l'ensemble invariant minimal d'une action de groupe soit inclus dans le complément de l'ensemble invariant minimal de l'autre. Ce concept s'avère être un excellent outil pour créer de nouveaux exemples d'actions de groupe sur le cercle qui ne sont semi-conjuguées à aucun sous-groupe du groupe linéaire projectif, et telles que chaque élément non trivial a au plus N points fixes. Il conduit également à la construction d'une deuxième famille d'exemples d'actions de groupe où tout élément non trivial a au plus N points fixes, qui sont des extensions HNN d'actions.Enfin, nous présentons des exemples de haute régularité, qui ne peuvent être obtenus directement par le produit amalgamé d'actions, de groupes de type fini de difféomorphismes du cercle où tout élément non trivial fixe au plus 2 points et qui ne sont pas semi-conjugués (et même pas isomorphe) à n'importe quel sous-groupe du groupe linéaire projectif. Par conséquent, nous pouvons conclure que la seule augmentation de la régularité ne nous donne pas un théorème de classification.
Origine : Version validée par le jury (STAR)