Non-unitary conformal field theories for geometrical problems : a lattice approach
Théories conformes non unitaires et problèmes géométriques : approche par le réseau
Résumé
In this thesis we study non-unitary two-dimensional bulk conformal field theories that appear in the continuum limit of certain critical lattice models, including the Potts and O(n) models. These models have applications to geometrical problems such as percolation and self-avoiding walks (polymers). To handle the technical difficulties caused by the non-unitarity we consider a lattice approach, which includes techniques such as the Bethe ansatz, representation theory of the affine Temperley-Lieb algebra and the usage of a discretization of the Virasoro algebra (the Koo-Saleur generators). We provide a graphical formulation of correlation functions in RSOS minimal models and compare to similar quantities in the Potts model. This allows us explain why an earlier conjecture for the Potts four-point functions, although incorrect, gave results in good agreement with numerical simulations. We detail the connections between RSOS models and anyonic systems, showing that the computation of correlation functions reduce to the evaluation of certain anyonic fusion diagrams. The main part of the thesis is dedicated to investigating what Virasoro modules are present in the six-vertex model, Potts and loop models at generic (irrational) central charge. This is mainly done using the Koo-Saleur generators. We find in the six-vertex model both Verma and co-Verma modules, while in the Potts and loop models the main finding is the presence of logarithmic modules corresponding to rank-two Jordan cells. These Jordan cells are not present at finite size, but appear only in the continuum limit. We also show the convergence of the Koo-Saleur generators to the Virasoro generators in a double limit procedure called the scaling limit, where the order of the two limits is crucial. Finally, knowledge of the logarithmic modules is used to bootstrap the O(n) model at generic complex values of n, using logarithmic conformal blocks in the crossing equations. We numerically compute four-point functions involving the simplest operators, and find that the number of solutions to the crossing equations is consistent with O(n) representation theory.
Dans cette thèse, nous étudions les théories conformes des champs non unitaires à deux dimensions qui apparaissent dans la limite continue de certains modèles critiques sur réseau, y compris les modèles de Potts et O(n). Ces modèles ont des applications à des problèmes géométriques tels que la percolation et les marches auto-évitantes (polymères). Pour traiter les difficultés techniques causées par la non-unitarité, nous considérons une approche par le réseau, qui inclut des techniques telles que l'ansatz de Bethe, la théorie des représentations de l'algèbre affine de Temperley-Lieb et l'utilisation d'une discrétisation de l'algèbre de Virasoro (les générateurs de Koo-Saleur). Nous fournissons une formulation graphique des fonctions de corrélation dans les modèles minimaux RSOS et les comparons à des quantités similaires dans le modèle de Potts. Cela nous permet d'expliquer pourquoi une conjecture antérieure pour les fonctions à quatre points de Potts, bien qu'incorrecte, ait donné des résultats en bon accord avec les simulations numériques. Nous détaillons les connexions entre les modèles RSOS et les systèmes anyoniques, en montrant que le calcul des fonctions de corrélation se réduit à l'évaluation de certains diagrammes de fusion anyoniques. La partie principale de la thèse est consacrée à l'étude des modules de Virasoro présents dans le modèle à six vertex et dans les modèles de Potts et de boucles à charge centrale générique (irrationnelle). Ceci est fait principalement en utilisant les générateurs de Koo-Saleur. Nous trouvons dans le modèle à six vertex à la fois des modules de Verma et des modules co-Verma, tandis que dans les modèles de Potts et de boucles, la principale découverte est la présence de modules logarithmiques correspondants à des cellules de Jordan de rang deux. Ces cellules de Jordan ne sont pas présentes à taille finie, mais apparaissent seulement dans la limite continue. Nous montrons également la convergence des générateurs de Koo-Saleur vers les générateurs de Virasoro dans une procédure à double limite appelée limite d'échelle, où l'ordre des limites est crucial. Enfin, l'information sur les modules logarithmiques est utilisée dans le bootstrap du modèle O(n) pour des valeurs complexes génériques de n, en utilisant des blocs conformes logarithmiques dans les équations de croisement. Nous calculons numériquement les fonctions à quatre points impliquant les opérateurs les plus simples et constatons que le nombre de solutions aux équations de croisement est compatible avec la théorie des représentations de O(n).
Origine : Version validée par le jury (STAR)