Relations de dispersion pour chaînes linéaires comportant des interactions harmoniques auto-similaires
Résumé
Dans de nombreux systèmes biologiques on trouve des structures arborescentes et bifurquantes comme des arbres, des fougères, des colimaçons, le système vasculaire, etc. Tous ces systèmes se distinguent par une invariance d'échelle et se comportent donc quasiment comme des systèmes auto-similaires. Est-ce par soucis d'optimisation qu'une telle symétrie est retenue par la nature? Quels sont les comportements dynamiques et acoustiques de tels systèmes auto-similaires? Afin de donner une réponse il faut tout d'abord comprendre le rôle de l'auto-similarité dans les comportements dynamiques comme la propagation d'ondes. Faute d'approches définitives qui décrivent la physique de systèmes auto-similaires, nous introduisons un modèle simple d'une chaîne linéaire quasiment continue ayant une distribution auto-similaire de ressorts qui lient des masses ponctuelles. Dans notre modèle la densité d'énergie élastique est une fonction exactement auto-similaire. L'équation du mouvement fournit une version auto-similaire de l'opérateur de Laplace dont le spectre de valeurs propres (la relation de dispersion) est une fonction de type Weierstrass-Mandelbrot. Cette fonction est exactement auto-similaire et est de plus une fonction fractale non-différentiable. En outre il s'avère que dans le cas limite d'un milieu continu notre Laplacien adopte la forme d'intégrales fractionnaires. Dans ce cas la densité de vibrations révèle une loi de puissance pour des basses fréquences avec un exposant strictement positif qui indique l'annulation de la densité de vibrations à la fréquence zéro. Pour de plus amples détails nous renvoyons le lecteur à notre article qui vient de paraître (Michelitsch et. al., Phys. Rev. E 80, 011135 (2009)).
Origine : Accord explicite pour ce dépôt
Loading...