HAL : hal-00564631, version 1

DOI : 10.4171/GGD/126

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Groups Geometry and Dynamics 5, 2 (2011) 251-264

Lattices with and lattices without spectral gap

Bachir Bekka 1, Alexander Lubotzky 2

(2011)

Let $G = G(k)$ be the $k$-rational points of a simple algebraic group G over a local field k and let $\Gamma$ be a lattice in G. We show that the regular representation $\rho_{\Gamma\setminus G}$ of $G$ on $L^{2}(\Gamma\setminus G)$ has a spectral gap, that is, the restriction of $\rho_{\Gamma\setminus G}$ to the orthogonal of the constants in $L^{2}(\Gamma\setminus G)$ has no almost invariant vectors. On the other hand, we give examples of locally compact simple groups $G$ and lattices $\Gamma$ for which $L^{2}(\Gamma\setminus G)$ has no spectral gap. This answers in the negative a question asked by Margulis [Marg91, Chapter III, 1.12]. In fact, $G$ can be taken to be the group of orientation preserving automorphisms of a k-regular tree for $k > 2$.

1 :	Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR)
	CNRS : UMR6625 – Université de Rennes 1 – École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan – Institut National des Sciences Appliquées (INSA) : - RENNES – Université de Rennes II - Haute Bretagne
2 :	Institute of Mathematics
	Hebrew University

Équipe de recherche : Théorie ergodique

Domaine

:

Mathématiques/Systèmes dynamiques

Mots Clés : Lattices in algebraic groups – Tree lattices – Expander diagrams – Spectral gap

hal-00564631, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00564631

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00564631

Contributeur : Marie-Annick Guillemer <>

Soumis le : Mercredi 9 Février 2011, 14:50:36

Dernière modification le : Vendredi 20 Janvier 2012, 14:21:02