HAL : hal-00514177, version 1

DOI : 10.4007/annals.2012.176.1.8

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Annals of Mathematics 176, 1 (2012) 413-508

Rational points over finite fields for regular models of algebraic varieties of Hodge type $\geq 1$

Pierre Berthelot 1, Hélène Esnault 2, Kay Rülling 2

(2012)

Let $R$ be a discrete valuation ring of mixed characteristics $(0, p)$, with finite residue field $k$ and fraction field $K$, let $k'$ be a finite extension of $k$, and let $X$ be a regular, proper and flat $R$-scheme, with generic fibre $X_K$ and special fibre $X_k$. Assume that $X_K$ is geometrically connected and of Hodge type $\geq 1$ in positive degrees. Then we show that the number of $k'$-rational points of $X$ satisfies the congruence $|X(k')| \equiv 1$ mod $|k'|$. Thanks to \cite{BBE07}, we deduce such congruences from a vanishing theorem for the Witt cohomology groups $H^q(X_k, W\sO_{X_k,\Q})$, for $q > 0$. In our proof of this last result, a key step is the construction of a trace morphism between the Witt cohomologies of the special fibres of two flat regular $R$-schemes $X$ and $Y$ of the same dimension, defined by a surjective projective morphism $f : Y \to X$.

1 :	Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR)
	CNRS : UMR6625 – Université de Rennes 1 – École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan – Institut National des Sciences Appliquées (INSA) : - RENNES – Université de Rennes II - Haute Bretagne
2 :	University of Duisburg-Essen
	Universität Duisburg-Essen

Équipe de recherche : Géométrie algébrique

Domaine

:

Mathématiques/Géométrie algébrique

Mots Clés : Complete intersections – De Rham-Witt complex – Fundamental class – Hodge type – $p$-adic cohomology – $p$-adic Hodge theory – Rational points – Regular models – Slope filtration – Trace morphism – Witt vectors – Zeta function

hal-00514177, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00514177

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00514177

Contributeur : Pierre Berthelot <>

Soumis le : Mercredi 1 Septembre 2010, 15:14:15

Dernière modification le : Mercredi 9 Janvier 2013, 16:00:28