| Cette thèse est consacrée à l'étude des modules de quantification par déformation ou DQ-modules. Elle explore dans quelle mesure certains théorèmes de géométrie algébrique s'étendent aux DQ-modules et plus généralement à un cadre non-commutatif. Nous établissons un théorème de type Riemann-Roch pour les algèbres différentielles graduées propres et homologiquement lisses, généralisant ainsi un résultat de Shklyarov. Nous donnons un analogue non-commutatif d'un résultat de Bondal et Van den Bergh affirmant que la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents d'une variété algébrique est engendrée par un générateur compact. Il apparaît que la notion d'objet quasi-cohérent n'est pas adaptée à la théorie des DQ-modules. Nous introduisons donc, en nous appuyant sur la notion de complétude cohomologique de Kashiwara-Schapira, la notion d'objet cohomologiquement complet à gradué quasi-cohérent. Nous montrons que ces objets forment une catégorie triangulée, engendrée par un générateur compact et nous en caractérisons les objets compacts. Nous adaptons au cas des DQ-modules une formule due à Lunts, qui calcule la trace d'un noyau cohérent agissant sur l'homologie de Hochschild d'un DQ-algébroïde. La méthode de Lunts ne semble pas s'appliquer aux DQ-modules. Nous développons donc un formalisme permettant d'obtenir un théorème similaire à celui de Lunts puis nous l'appliquons aux DQ-modules. Enfin, nous nous intéressons, dans le cadre des DQ-modules, aux transformations intégrales pour lesquelles nous donnons des résultats d'adjonction et démontrons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle transformation soit une équivalence. |
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