| Cette thèse se compose de deux parties principales. La première a pour objet la régularité maximale des équations d'évolution. Plus précisemment, étant donnée une famille d'opérateurs dépendant du temps, on s'intéresse à l'existence et l'unicité d'une solution au problème de Cauchy non-autonome associé. Sous l'hypothèse de continuité relative, on montre que la régularité maximale de la famille se ramène à la régularité de chaque opérateur. Nous obtenons des résultats de même nature pour le problème du second ordre. Dans la deuxième partie, deux problèmes de théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger sur les variétés sont abordés. Tout d'abord, on obtient une minoration du bas du spectre essentiel au moyen de quantités liées au potentiel. Ce résultat permet notamment d'obtenir des critères de compacité de la résolvante. Le dernier chapitre traîte d'estimation du type Cwikel-Lieb-Rozenblum du nombre de valeurs propres qui apparaissent sous le spectre essentiel. La majoration obtenue fait directement intervenir le noyau de la chaleur du Laplacien sur la variété. |
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