La théorie des groupes de Coxeter, qui a pour origine l'étude des groupes
d'isométries, permet de relier entre eux divers domaines d'algèbre et de
géométrie, allant de la théorie des representations (des groupes de Coxeter
et de Lie, des algèbres de Lie et de Hecke) et de la géométrie algébrique
(variétés de Schubert) à la combinatoire (ordre de Bruhat). Les polynômes
de Kazhdan-Lusztig apparaissent sous des formes assez différentes dans plusieurs
de ces domaines : ces polynômes
peuvent être définis comme coordonnées d'une base
remarquable de l'algèbre de Hecke (ce qui donne une représentation non triviale
de cette algèbre), leur valeur au point 1 intervient dans la décomposition de certains
modules de Verma, et leur coefficients peuvent être interprétés comme des dimensions
de certains espaces d'homologie locale. La définition originale de ces polynômes
se traduit par une formule de récurrence compliquée qui conduit naturellement à
s'interroger sur une éventuelle définition purement combinatoire. Ce rapport essaye
de montrer quelques développements récents dans les tentatives de réponse à cette
question. Notre résultat principal est le suivant : un isomorphisme entre
deux intervalles initiaux préserve les polynômes de Kazhdan-Lusztig. Nous explicitons
également des arguments (théoriques et calculatoires)
tendant à confirmer la conjecture que cela reste vrai pour un isomorphisme entre des intervalles
complètement compressibles dans des groupes de Coxeter finis.\newline
Mots-clés : groupe de Coxeter, polynôme de Kazhdan-Lusztig,
sous-groupe de réflections, intervalle de Bruhat, couplage distingué,
intervalle complètement compressible |
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