L'objet de cette thèse est l'étude de quelques aspects de
la notion d'hyperbolicité, plus particulièrement de la
relation qui existe entre celle-ci et la nature bien posée
d'un problème de Cauchy obtenu à partir d'un système
d'équations aux dérivées partielles issu de la mécanique
des fluides ou la réalisation de la simulation numérique
d'un tel problème.
Dans un premier temps, nous rappelons en quoi la notion de
linéarisation d'un système d'équations aux dérivées
partielles semble naturelle à l'étude de ce système et
comment, de l'étude de ces problèmes linéarisés, plus
précisément de leur nature bien posée c'est-à-dire de leur
stabilité, découle la notion d'hyperbolicité.
Nous étudions ensuite le cas particulier d'un modèle à
quatre équations pour un écoulement bifluide comportant des
termes de diffusion pour les équations de quantité de
mouvement. Nous montrons alors que, bien que, pour ce
système, l'ajout des termes de diffusion n'entraîne pas
l'hyperbolicité du modèle obtenu, les problèmes de Cauchy
construits à partir de la linéarisation de ce système,
autour d'un état constant, sont désormais bien posés.
Enfin, nous considérons le cas d'un modèle à cinq équations
pour un écoulement bifluide. Ce modèle ne nécessite pas de
loi de fermeture algébrique (équations d'état ou lois
tabulées) mais comporte une équation aux dérivées
partielles portant sur la pression. Le système ainsi
obtenu n'est pas hyperbolique mais les valeurs propres de
l'opérateur d'advection sont toutes réelles. La simulation
numérique d'un écoulement régi par ce modèle, pour le cas
test du robinet de Ransom, ne fait néanmoins pas apparaître
les instabilités numériques que la nature mal posée du
linéarisé nous faisait craindre et qui sont présentes dans
les simulations réalisées à partir du modèle isentropique
classique à quatre équations. |
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