Combinatorics and dynamics of Teichmüller flow

Combinatoire et dynamique du flot de Teichmüller

Vincent Delecroix (1)

1 IML - Institut de mathématiques de Luminy

In this thesis, we study the dynamics of the linear flow of translation surfaces and its renormalization by the Teichmüller flow introduced by H. Masur and W. Veech in 1982. A combinatorial version of the renormalization, the Rauzy induction on interval exchange transformations, was introduced by G. Rauzy in 1979. First of all, we consider the combinatorics of Rauzy classes which form a partition of the set of irreducible permutations and are part of the Rauzy induction. In a second time, we consider an infinite $\ZZ^2$-periodic billiard in the plane called the wind-tree model. It was introduced in a stochastic version by P.~and T. Ehrenfest in 1912 and in the periodic version by J. Hardy and J. Weber in 1980. We construct a family of directions for which the flow of the billiard is divergent and hence give examples of divergent $\ZZ^2$-cocycles over interval exchange transformations. Moreover, we prove that the polynomial rate of diffusion is generically $2/3$. In other words, the maximal distance reached by a particule below time $t$ has the order of $t^{2/3}$.

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini $\ZZ^2$-périodique dans le plan appelé le \og vent dans les arbres \fg introduit dans une version stochastique par P.~et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de $\ZZ^2$-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est $2/3$ autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps $t$ est de l'ordre de $t^{2/3}$.

Mots clés: dynamical systems; ergodic theory; interval exchange transformations; translation surfaces; Birkhoff sums

Mots clés: systèmes dynamiques; théorie ergodique; échanges d'intervalles; surfaces de translation; sommes de Birkhoff

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]

Vincent Delecroix. Combinatoire et dynamique du flot de Teichmüller. Systèmes dynamiques [math.DS]. Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00653165⟩