Weyl asymptotics, magnetic fields and degenerate potentials
Asymptotiques de Weyl, champs magnétiques et potentiels dégénérés
Abstract
In this article we present several results of spectrum analysis, the most part of which based on the min-max variational principle. The main goal here is to prove some Weyl-type formula for some kinds of Schrodinger operators . The Weyl asymptotics are a basic result in semi-classical analysis, they relate the number of eigenvalues to the volume in phase space of the trajectories for the associated classical dynamics. We consider operators for which that volume is infinite, so that the Weyl formula has to be revisited. We also present a problem of magnetic bottle in classical dynamics, which is at the origin of the questions discussed in the semi-classical context.
Ce mémoire présente plusieurs résultats d'analyse spectrale, qui s'appuient pour la plupart sur le principe variationnel du min-max. L'objectif principal est d'établir une formule de type Weyl pour certains opérateurs de Schrôdinger . Cette formule, emblématique de l'analyse semi-classique , établit une correspondance entre la fonction de comptage du spectre et le volume dans l'espace des phases des trajectoires du système classique sous-jacent. Les cas considérés concernent des opérateurs pour lesquels ce volume est infini, de sorte qu'il est nécessaire de trouver une alternative à cette formule. Il est fait également mention d'un problème classique de bouteille magnétique , qui est à la source des travaux ultérieurs.