The cotangent map of surfaces of general type
L'application cotangente des surfaces de type général
Résumé
We study here surfaces of general type where the cotangent sheaf is generated by his global sections and with an irregularity \( q \) at least equal to \( 4 \).\\ Our approach and the object of this study is the cotangent map that is a morphism of the projectivized cotangent sheaf to the projective space of dimension \( q-1 \). We study the degree of this morphism and the degree of its image. {\selectlanguage{english}} The cotangent sheaf is ample if and only if there do not exist fibres of the cotangent map of strictly positive dimension.\\ If the cotangent sheaf is not ample, then there exists a curve \( C \) in the surface and there exists a section of \( C \) in the projectivized cotangent sheaf that is mapped to a point by the cotangent map. We call such a curve a non-ample curve.\\ We classify non-ample curves according to their self-intersection and then proceed to a classification of surfaces possessing an infinite number of non-ample curves. {\selectlanguage{english}} The Fano surfaces provide an example where the cotangent map normally applies. We study the ramification divisor of such surfaces and their non-ample curves.\\ The Fano surface of the Fermat's cubic possesses \( 30 \) non-ample curves and we describe their properties in detail.
Cette thèse est une étude les surfaces de type général dont le fibré cotangent est engendré par ses sections globales et d'irrégularité \( q \) supérieure au égale à \( 4 \). \\ L'application cotangente est l'objet et le moyen de cet étude. C'est un morphisme du projectivisé du fibré tangent dans l'espace projectif de dimension \( q-1 \). Nous étudions l'image ce morphisme et son degré. Le fibré cotangent de la surface est ample si et seulement si il n'existe pas de fibres de l'application cotangente de dimension strictement positive. \\ Si le fibré cotangent n'est pas ample, alors il existe une courbe \( C \) contenue dans la surface et il existe une section de \( C \) dans le projectivisé du fibré tangent qui est contractée en un point par l'application cotangente. Une telle courbe \( C \) est qualifiée de courbe non-ample.\\ Nous donnons une classification des courbes non-amples suivant leur auto-intersection. {\selectlanguage{english}}Nous donnons ensuite une classification (partielle) des surfaces possédant une infinité de courbes non-amples. {\selectlanguage{english}} Un exemple pour lequel l'application cotangente intervient naturellement est celui des surfaces de Fano. Nous étudions le diviseur de ramification de leur application cotangente ainsi que leurs courbes non-amples. \\ Cette étude nous mène à la surface de Fano de la cubique de Fermat qui possède \( 30 \) courbes non-amples et dont nous détaillons les propriétés.
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