| La recherche des niveaux énergétiques des bandes de valence et de conduction d'un cristal est un problème non résolu en toute rigueur, il faut utiliser des méthodes d'approximation pour trouver les solutions de l'équation de Schrôdinger appliquée à un électron du cristal. - Les méthodes proposées jusqu'ici reposent sur un principe variationnel ; elles conduisent toutes à_ la résolution d'une équation séculaire de degré élevé si l'on veut une précision convenable. - Plusieurs points essentiels sont à préciser : a) Comment déterminer le potentiel V(r) du cristal dû à l'interaction des noyaux et des électrons et des électrons entre eux. b) Quelles sont les fonctions d'essai qui seront choisies pour traduire le principe variationnel. c) Comment résoudre pratiquement un déterminant de degré pouvant atteindre cent. Nous nous sommes proposé d'étudier les points (b) et (c) et avons adopté le plan suivant : Au chapitre I, nous avons rappelé les propriétés mathématiques des groupes finis nécessaires par la suite ; en particulier nous avons insisté sur la notion essentielle de représentation d'un groupe. Au chapitre II, nous n'avons pas abordé directement le problème quantique car il nous a paru intéressant de considérer classiquement les petites vibrations moléculaires. Cette étude aboutit à la résolution d'une équation séculaire qui se factorise si l'on tient compte du groupe de symétrie associé à la molécule. Cette partie fait appel à des notions intuitives et les propriétés établies se transposent simplement en mécanique quantique. Le chapitre III donne les principes fondamentaux sur lesquels s'appuie la méthode variationnelle en mécanique quantique. Au chapitre IV, nous abordons la recherche des bandes énergétiques d'un cristal et nous exposons la méthode d'approximation dite méthode des ondes planes orthogonales dont la convergence est acceptable. Enfin, au chapitre V nous montrons comment les considérations de symétrie permettent comme au chapitre II la résolution de l'équation séculaire à laquelle aboutit la méthode utilisant les ondes planes orthogonales. |
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