On the Robustness of the Snell envelope

Pierre del Moral (1) , Peng Hu (1) , Nadia Oudjane (2, 3) , Bruno Rémillard (4)

1 ALEA - Advanced Learning Evolutionary Algorithms
2 LAGA - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications
3 EDF - EDF
4 MQG - Méthodes Quantitatives de Gestion

We analyze the robustness properties of the Snell envelope backward evolution equation for the discrete time optimal stopping problem. We consider a series of approximation schemes, including cut-off type approximations, Euler discretization schemes, interpolation models, quantization tree models, and the Stochastic Mesh method of Broadie-Glasserman. In each situation, we provide non asymptotic convergence estimates, including Lp-mean error bounds and exponential concentration inequalities. We deduce these estimates from a single and general robustness property of Snell envelope semigroups. In particular, this analysis allows us to recover existing convergence results for the quantization tree method and to improve significantly the rates of convergence obtained for the Stochastic Mesh estimator of Broadie-Glasserman. In the second part of the article, we propose a new approach using a genealogical tree approximation of the reference Markov process in terms of a neutral type genetic model. In contrast to Broadie-Glasserman Monte Carlo models, the computational cost of this new stochastic particle approximation is linear in the number of sampled points. Some simulations results are provided and confirm the interest of this new algorithm.

Nous analysons les propriètès de robustesse de l'équation de l'évolution backward de l'enveloppe de Snell pour le problème d'arrêt optimal au temps discet. Nous considèrons une série de schémas d'approximation, y compris les approximations de type cut-off, schémas de discrétisation d'Euler, des modèles d'interpolation, les modèles de quantification, et la méthode de Broadie- Glasserman. Dans chaque situation, nous fournissons des estimations de convergence non-asymptotique, y compris les bornes d'erreur Lp et les inégalités de concentration exponentielle. Nous en déduisons de ces estimations à partir d'une seule propriété générale de robustesse générale de semigroupes enveloppe de Snell. En particulier, cette analyse nous permet de retrouver des résultats de convergence existants pour la méthode de quantification et d'améliorer sig- nificativement la vitesse de convergence obtenue pour l'estimateur de Broadie-Glasserman. Dans la deuxième partie de l'article, nous proposons une nouvelle approche en utilisant une approximation d'arbre généalogique du processus de Markov en termes de référence d'un modèle de type génétique neutre. Contrairement à Broadie-Glasserman Monte Carlo modèles, le coût de calcul de cette nouvelle approximation particulaire stochastique est linéaire du nombre de points échantillonnés. Certains résultats des simulations sont fournies et de confirmer l'intérêt de ce nouvel algorithme.

Mots clés: Snell envelope; optimal stopping; American option pricing; genealogical trees; interacting particle model

Domaines: Pricing [q-fin.PR]; Optimisation et contrôle [math.OC]; Analyse numérique [math.NA]

Pierre del Moral, Peng Hu, Nadia Oudjane, Bruno Rémillard. On the Robustness of the Snell envelope. [Research Report] RR-7303, INRIA. 2010, pp.41. ⟨inria-00487103v4⟩