Nonconvergence of the plain Newton-min algorithm for linear complementarity problems with a P-matrix - The full report.
Abstract
The plain Newton-min algorithm to solve the linear complementarity problem (LCP for short) 0 ≤ x ⊥ (Mx+q) ≥ 0 can be viewed as a nonsmooth Newton algorithm without globalization technique to solve the system of piecewise linear equations min(x,Mx+q)=0, which is equivalent to the LCP. When M is an M-matrix of order n, the algorithm is known to converge in at most n iterations. We show in this paper that this result no longer holds when M is a P-matrix of order ≥ 3, since then the algorithm may cycle. P-matrices are interesting since they are those ensuring the existence and uniqueness of the solution to the LCP for an arbitrary q. Incidentally, convergence occurs for a P-matrix of order 1 or 2.
L'algorithme Newton-min, utilisé pour résoudre le problème de complémentarité linéaire (PCL) 0 ≤ x ⊥ (Mx+q) ≥ 0 peut être interprété comme un algorithme de Newton non lisse sans globalisation cherchant à résoudre le système d'équations linéaires par morceaux min(x,Mx+q)=0, qui est équivalent au PCL. Lorsque M est une M-matrice d'ordre n, on sait que l'algorithme converge en au plus n itérations. Nous montrons dans cet article que ce résultat ne tient plus lorsque M est une P-matrice d'ordre n ≥ 3 ; l'algorithme peut en effet cycler dans ce cas. On a toutefois la convergence de l'algorithme pour une P-matrice d'ordre 1 ou 2.
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