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These notes are based on a mini-course given during the conference Particle systems and PDE's - II which held at the Center of Mathematics of the University of Minho in December 2013. We discuss the problem of normal and anomalous diffusion of energy in systems of coupled oscillators perturbed by a stochastic noise conserving energy.
We investigate the approximation of the Monge problem (minimizing $\int_\Omega |T(x)-x| d\mu(x)$ among the vector-valued maps $T$ with prescribed image measure $T_\#\mu$) by adding a vanishing Dirichlet energy, namely $\epsilon\int_\Omega |DT|^2$, where $\epsilon \to 0$. We study the $\Gamma$-convergence as $\epsilon\to 0$, proving a density result for Sobolev (or Lipschitz) transport maps in the class of transport plans. In a certain two-dimensional framework that we analyze in details, when no optimal plan is induced by an $H^1$ map, we study the selected limit map, which is a new ''special'' Monge transport, different from the monotone one, and we find the precise asymptotics of the optimal cost depending on $\epsilon$, where the leading term is of order $\epsilon|\log\epsilon|$
We analyze a (possibly degenerate) second order mean field games system of partial differential equations. The distinguishing features of the model considered are (1) that it is not uniformly parabolic, including the first order case as a possibility, and (2) the coupling is a local operator on the density. As a result we look for weak, not smooth, solutions. Our main result is the existence and uniqueness of suitably defined weak solutions, which are characterized as minimizers of two optimal control problems. We also show that such solutions are stable with respect to the data, so that in particular the degenerate case can be approximated by a uniformly parabolic (viscous) perturbation.
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