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We study a fluid flow traversing a porous medium and obeying the Darcy's law in the case when this medium is fractured in blocks by an $\veps$-periodic ($\veps>0$) distribution of fissures filled with a Stokes fluid. These two flows are coupled by a Beavers-Joseph type interface condition. The existence and uniqueness of this flow in our $\veps$-periodic structure are proved. As the small period of the distribution shrinks to zero, we study the asymptotic behaviour of the flow when the permeability and the entire contribution on the interface of the Beavers-Joseph transfer coefficients are of unity order. We find the homogenized problem verified by the two-scale limits of the coupled velocities and pressures. It is well-posed and provides the corresponding classical homogenized problem.
We review different properties related to the Cauchy problem for the (nonlinear) Schrodinger equation with a smooth potential. For energy-subcritical nonlinearities and at most quadratic potentials, we investigate the necessary decay in space in order for the Cauchy problem to be locally (and globally) well-posed. The characterization of the minimal decay is different in the case of super-quadratic potentials.
We prove that nonlinear Gibbs measures can be obtained from the corresponding many-body, grand-canonical, quantum Gibbs states, in a mean-field limit where the temperature T diverges and the interaction behaves as 1/T. We proceed by characterizing the interacting Gibbs state as minimizing a functional counting the free-energy relatively to the non-interacting case. We then perform an infinite-dimensional analogue of phase-space semiclassical analysis, using fine properties of the quantum relative entropy, the link between quantum de Finetti measures and upper/lower symbols in a coherent state basis, as well as Berezin-Lieb type inequalities. Our results cover the measure built on the defocusing nonlinear Schrödinger functional on a finite interval, as well as smoother interactions in dimensions $d\geq2$.
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