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This article is based on author's talk at the International Conference "Alexandroff Reading", Moscow 21 - 25 May, 2012. The material presented in article is a programme intended to organise the ingredients of the index formula. The first results results obtained in this project were announced at the International Conference on Non-commutative Geometry, Trieste, November 2007. Progress obtained along the path of the project was reported at different conferences in Crakovia (June 2011), "K-Theory, C*-Algebras and Index Theory International Conference", Goettingen (November 2010) and Iasi (September 2011). The unifying idea behind our program is to localise K-theory and the non-commutative geometry basic tools (Hochschild, cyclic homology and co-homology, Connes-Karoubi Chern character) along the lines of Alexander-Spanier co-homology and homology. The motivation for the realisation of this programme is four-fold: -1) the classical Atiyah-Singer type index formula is a global statement with local controle, -2) the non-localised existing tools are not fine enough to capture sufficient information in the case of Banach algebras, -3) one wants to make so that the Alexander-Spanier (co)-homology becomes a natural ingredient of non-commutative geometry and -4) the Alexander-Spanier co-homology, with respect to the existing non-commutative geometry tools, has the advantage that it does need extra regularity beyond the ordinary topology. Author's last reference publications represent parts of this programme
This paper proposes additional material to the main statements of [HL13] which are are recalled in Section~2. In particular an application of [Theorem~2.2,HL13] to Renewal Markov Processes is provided in Section~4 and a detailed checking of the assumptions of [Theorem~2.2,HL13] for the joint distribution of local times of a finite jump process is reported in Section~5. A uniform version of [Theorem~2.2,HL13] with respect to a compact set of transition matrices is given in Section~6 (see [Remark 2.4,HL13]). The basic material on the semigroup of Fourier matrices and the spectral approach used in [HL13] is recalled in Section~3 in order to obtain a good understanding of the properties involved in this uniform version.
Let A be a line arrangement in the complex projective plane P2. We consider the boundary manifold, defined as the boundary of a close regular neighborhood of A in P2 and study the inclusion map on the complement. We give an explicit method to compute the map induced on the fundamental groups. This extends the work of E.Hironaka on the homotopy type of the complement of (complexified) real arrangements to any complex arrangement.
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