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We present a new primal-dual splitting algorithm for structured monotone inclusions in Hilbert spaces and analyze its asymptotic behavior. A novelty of our framework, which is motivated by image recovery applications, is to consider inclusions that combine a variety of monotonicity-preserving operations such as sums, linear compositions, parallel sums, and a new notion of parallel composition. The special case of minimization problems is studied in detail, and applications to signal recovery are discussed. Numerical simulations are provided to illustrate the implementation of the algorithm.
The construction of cyclic codes can be generalized to so called module $\theta$-cyclic codes using noncommutative polynomials. The product of the generator polynomial $g$ of a self-dual module $\theta$-cyclic code and its "skew reciprocal polynomial" is known to be a noncommutative polynomial of the form $X^n-a$, reducing the problem of the computation of all such codes to a Gröbner basis problem where the unknowns are the coefficients of $g$. In previous work, with the exception of the length $2^s$, over $\FF_4$ a large number of self-dual codes were found. In this paper we show that $a$ must be $\pm 1$ and that for $n=2^s$ the decomposition of $X^n\pm 1$ into a product of $g$ and its "skew reciprocal polynomial" has some rigidity properties which explains the small number of codes found for those particular lengths over $\FF_4$. In order to overcome the complexity limitation resulting from the Gröbner basis computation we present, in the case $\theta$ of order two, an iterative construction of self-dual codes based on least common multiples and factorization of noncommutative polynomials. We use this approach to construct a $[78,39,19]_4$ self-dual code and a $[52,26,17]_9$ self-dual code which improve the best previously known minimal distances for these lengths.
We consider a one dimensional Bose-Einstein condensate in a in finite square-well (box) potential. This is a nonlinear control system in which the state is the wave function of the Bose Einstein condensate and the control is the length of the box. We prove that local exact controllability around the ground state (associated with a fi xed length of the box) holds generically with respect to the chemical potential ; i.e. up to an at most countable set of values. The proof relies on the linearization principle and the inverse mapping theorem, as well as ideas from analytic perturbation theory.
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