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 Estimates for some Weighted Bergman ProjectionsIn this paper we investigate the regularity properties of weighted Bergman projections for smoothly bounded pseudo-convex domains of finite type in $\mathbb{C}^{n}$. The main result is obtained for weights equal to a non negative rational power of the absolute value of a special defining function $\rho$ of the domain: we prove (weighted) Sobolev-$L^{p}$ and Lipchitz estimates for domains in $\mathbb{C}^{2}$ (or, more generally, for domains having a Levi form of rank $\geq n-2$ and for ''decoupled'' domains) and for convex domains. In particular, for these defining functions, we generalize results obtained by A. Bonami \& S. Grellier and D. C. Chang \& B. Q. Li. We also obtain a general (weighted) Sobolev-$L^{2}$ estimate. Families of fast elliptic curves from Q-curvesWe construct new families of elliptic curves over $$\FF_{p^2}$$ with efficiently computable endomorphisms, which can be used to accelerate elliptic curve-based cryptosystems in the same way as Gallant--Lambert--Vanstone (GLV) and Galbraith--Lin--Scott (GLS) endomorphisms. Our construction is based on reducing $$\QQ$$-curves---curves over quadratic number fields without complex multiplication, but with isogenies to their Galois conjugates---modulo inert primes. As a first application of the general theory we construct, for every $$p > 3$$, two one-parameter families of elliptic curves over $$\FF_{p^2}$$ equipped with endomorphisms that are faster than doubling. Like GLS (which appears as a degenerate case of our construction), we offer the advantage over GLV of selecting from a much wider range of curves, and thus finding secure group orders when $$p$$ is fixed. Unlike GLS, we also offer the possibility of constructing twist-secure curves. Among our examples are prime-order curves equipped with fast endomorphisms, with almost-prime-order twists, over $$\FF_{p^2}$$ for $$p = 2^{127}-1$$ and $$p = 2^{255}-19$$. A Novel Phase Portrait for Neuronal ExcitabilityFifty years ago, FitzHugh introduced a phase portrait that became famous for a twofold reason: it captured in a physiological way the qualitative behavior of Hodgkin-Huxley model and it revealed the power of simple dynamical models to unfold complex firing patterns. To date, in spite of the enormous progresses in qualitative and quantitative neural modeling, this phase portrait has remained a core picture of neuronal excitability. Yet, a major difference between the neurophysiology of 1961 and of 2011 is the recognition of the prominent role of calcium channels in firing mechanisms. We show that including this extra current in Hodgkin-Huxley dynamics leads to a revision of FitzHugh-Nagumo phase portrait that affects in a fundamental way the reduced modeling of neural excitability. The revisited model considerably enlarges the modeling power of the original one. In particular, it captures essential electrophysiological signatures that otherwise require non-physiological alteration or considerable complexification of the classical model. As a basic illustration, the new model is shown to highlight a core dynamical mechanism by which calcium channels control the two distinct firing modes of thalamocortical neurons.
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