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In this paper, we investigate the behaviors of the Belief Propagation algorithm considered as a dynamic system. In the context of LDPC (Low Den- sity Parity-Check) codes, we use the noise power of the transmission channel as a potentiometer to evaluate the different motions that the BP can follow. The computations of dynamic quantifiers as the bifurcation diagram, the Lyapunov ex- ponent and the reconstructed trajectory enable to bring out four main behaviors. In addition, we propose a novel measure that is the hyperspheres method, which provides the knowledge of the time evolution of the attractor size. The information collected from these different quantifiers helps to better understand the BP evolu- tion and to focus on the noise power values for which the BP suffers from chaos.
We consider a nonrelativistic charged particle in a 1D moving potential well. This quantum system is subject to a control, which is the acceleration of the well. It is represented by a wave function solution of a Schrödinger equation, the position of the well together with its velocity. We prove the following controllability result for this bilinear control system: given an initial condition close enough to an eigenstate and a target close enough to another eigenstate, the wave function can be moved exactly from the first one to the second one in finite time. Moreover, we can control the position and the velocity of the well. Our proof uses moment theory, a Nash-Moser implicit function theorem, the return method and expansion to the second order.
In this short course we are going to review some of the main existing Eulerian approaches to the numerical simulation of the full water wave problem. More specifically, the lectures willl cover the boundary integral equation method, higher order spectral method, Dirichlet-to-Neumann operator approach and, finally, the conformal mapping technique. The advantages and shortcomings of different methods will be discussed as well. The course does not assume any particular knowledge in hydrodynamics. It is therefore suitable for researchers and graduate students in applied mathematics and related fields.
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