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The controllability of bilinear systems is well understood for finite dimensional isolated systems where the control can be implemented exactly. However when perturbations are present some interesting theoretical questions are raised. We consider in this paper a control system whose control cannot be implemented exactly but is shifted by a time independent constant in a discrete list of possibilities. We prove under general hypothesis that the collection of possible systems (one for each possible perturbation) is simultaneously controllable with a common control. The result is extended to the situations where the perturbations are constant over a common, long enough, time frame. We apply the result to the controllability of quantum systems. Furthermore, some examples and a convergence result are presented for the situation when an infinite number of perturbations occur.
On décrit dans cette thèse les dimensions des groupes quotients gradués associés à la cohomologie du complémentaire d'une courbe plane par rapport à la filtration de Hodge en fonction de certains invariants géométriques. Le cas des courbes à singularités ordinaires est détaillé. En particulier, on trouve le polynôme de Hodge-Deligne d'une courbe C quelconque à singularités isolées et celui de son complémentaire duquel on déduit les nombres de Hodge mixtes ainsi que les nombres de Betti correspondants. Dans le cas des courbes dont les singularités sont des nœuds et des points triples ordinaires, on donne des relations importantes avec l'algèbre de Milnor du polynôme homogène f qui définit C, les syzygies de l'idéal Jacobien de f et la filtration par l'ordre de pôle du groupe cohomologique d'ordre 2 du complémentaire de la courbe.
We define scattering data for the Newton equation in an electromagnetic field $(-\nabla V,B)\in C^1(\R^n,\R^n)\times C^1(\R^n,A_n(\R))$, $n\ge 2$, that decay at infinity like $r^{-\alpha-1}$ for some $\alpha\in (0,1]$, where $A_n(\R)$ is the space of $n\times n$ antisymmetric matrices. We provide their high energies asymptotics and we prove, in particular, that the scattering data at high energies uniquely determine the short range part of $(\nabla V,B)$ up to the knowledge of the long range part of $(\nabla V,B)$. Other asymptotic regimes are also considered. This paper extends similar results for a short range force field [Jollivet, 2009] or for a long range electric (or gravitational) field [Jollivet, 2013].
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