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Multi-state systems have recently attracted a great deal of interest with regards to reliability and maintenance. Since most mechanical equipment operates under some sorts of stress or load, it tends to degrade over time, thus possibly resulting in discrete degradation states (damage degrees), ranging from perfect functioning to complete failure. Over recent years, Hidden Markov Models (HMMs) have been applied to model these discrete degradation states for diagnostic and prognostic purposes. However, most of the reported researches on HMMs for multi-state equipment in the literature consider only one degradation mechanism of degradation processes. The present paper proposes a novel model called multi-branch HMM (MB-HMM) to deal with deterioration processes modeling under multiple competing modes. To illustrate the proposed approach, a numerical study is given.
Ill-posedness and/or Ill-conditioning are features users have to deal with appropriately in the controllability of diffusion problems for secure and reliable outputs. We investigate those issues in the case of a boundary Dirichlet control, in an attempt to underline the origin of the troubles arising in the numerical computations and to shed some light on the difficulties to obtain good quality simulations. The exact controllability is severely ill-posed while, in spite of its well-posedness, the null-controllability turns out to be very badly ill-conditioned. Theoretical and numerical results are stated on the heat equation in one dimension to illustrate the specific instabilities of each problem. The main tools used here are first a characterization of the subspace where the HUM control lies and the study of the spectrum of some structured matrices, of Pick and Löwner type, obtained from the Fourier calculations on the state and adjoint equations.
Observability Gramians of diffusion equations have been recently connected to infinite Pick and Cauchy matrices. In fact, inverse or observability inequalities can be obtained after estimating the extreme eigenvalues of these structured matrices, with respect to the diffusion semi-group matrix. The purpose is hence to conduct a spectral study of a subclass of symmetric Cauchy matrices and present an algebraic way to show the desired observability results. We revisit observability inequalities for three different observation problems of the diffusion equation and show how they can be (re)stated through simple proofs.
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