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Here we study the initial trace problem for the nonnegative solutions of the equation \[ u_{t}-\Delta u+|\nabla u|^{q}=0 \] in $Q_{\Omega,T}=\Omega\times\left( 0,T\right) ,$ $T\leqq\infty,$ where $q>0,$ and $\Omega=\mathbb{R}^{N},$ or $\Omega$ is a smooth bounded domain of $\mathbb{R}^{N}$ and $u=0$ on $\partial\Omega\times\left( 0,T\right) .$ We can define the trace at $t=0$ as a nonnegative Borel measure $(\mathcal{S}% ,u_{0}),$ where $S$ is the closed set where it is infinite, and $u_{0}$ is a Radon measure on $\Omega\backslash\mathcal{S}.$ We show that the trace is a Radon measure when $q\leqq1.$ For $q\in(1,(N+2)/(N+1)$ and any given Borel measure, we show the existence of a minimal solution, and a maximal one on conditions on $u_{0}.$ When $\mathcal{S}$ $=\overline{\omega}\cap\Omega$ and $\omega$ is an open subset of $\Omega,$ the existence extends to any $q\leqq2$ when $u_{0}\in L_{loc}^{1}(\Omega)$ and any $q>1$ when $u_{0}=0$. In particular there exists a self-similar nonradial solution with trace $(\mathbb{R}^{N+},0),$ with a growth rate of order $\left\vert x\right\vert ^{q^{\prime}}$ as $\left\vert x\right\vert \rightarrow\infty$ for fixed $t.$ Moreover we show that the solutions with trace $(\overline{\omega},0)$ in $Q_{\mathbb{R}^{N},T}$ may present near $t=0$ a growth rate of order $t^{-1/(q-1)}$ in $\omega$ and of order $t^{-(2-q)/(q-1)}$ on $\partial \omega.$
We study a mean-field version of rank-based models of equity markets such as the Atlas model introduced by Fernholz in the framework of Stochastic Portfolio Theory. We obtain an asymptotic description of the market when the number of companies grows to infinity. Then, we discuss the long-term capital distribution. We recover the Pareto-like shape of capital distribution curves usually derived from empirical studies, and provide a new description of the phase transition phenomenon observed by Chatterjee and Pal. Finally, we address the performance of simple portfolio rules and highlight the influence of the volatility structure on the growth of portfolios.
In the family of unit balls with constant volume we look at the ones whose algebraic representation has some extremal property. We consider the family of nonnegative homogeneous polynomials of even degree $d$ whose sublevel set $\G=\{\x: g(\x)\leq 1\}$ (a unit ball) has same fixed volume and want to find in this family the one that minimizes either the $\ell_1$-norm or the $\ell_2$-norm of its vector of coefficients. Equivalently, among all degree-$d$ polynomials of constant $\ell_1-$ or $\ell_2$-norm, which one minimizes the volume of its level set $\G$. We first show that in both cases this is a convex optimization problem with a unique optimal solution $g^*_1$ and $g^*_2$ respectively. We also show that $g^*_1$ is the $L_p$-norm polynomial $\x\mapsto\sum_{i=1}^n x_i^{p}$, thus recovering a parsimony property of the $L_p$-norm via $\ell_1$-norm minimization. (Indeed $n=\Vert g^*_1\Vert_0$ is the minimum number of non-zero coefficient for $\G$ to have finite volume.) This once again illustrates the power and versatility of the $\ell_1$-norm relaxation strategy in optimization when one searches for an optimal solution with parsimony properties. Next we show that $g^*_2$ is not sparse at all (and so differs from $g^*_1$) but is still a sum of $p$-powers of linear forms. We also characterize the unique optimal solution of the same problem where one searches for an SOS homogeneous polynomial that minimizes the trace of its associated (psd) Gram matrix, hence aiming at finding a solution which is a sum of a few squares only. Finally, we also extend these results to generalized homogeneous polynomials, which includes $L_p$-norms when $0
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