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 Asymptotically optimal index policies for an abandonment queue with convex holding cost.We investigate a resource allocation problem in a multi-class server with convex holding costs and user impatience under the average cost criterion. In general, the optimal policy has a complex dependency on all the input parameters and state information. Our main contribution is to derive index policies that can serve as heuristics and are shown to give good performance. Our index policy attributes to each class an index, which depends on the number of customers currently present in that class. The index values are obtained by solving a relaxed version of the optimal stochastic control problem and combining results from restless multi-armed bandits and queueing theory. They can be expressed as a function of the steady-state distribution probabilities of a one-dimensional birth-and-death process. For linear holding cost, the index can be calculated in closed-form and turns out to be independent of the arrival rates and the number of customers present. In the case of no abandonments and linear holding cost, our index coincides with the $c\mu$-rule, which is known to be optimal in this simple setting. For general convex holding cost we derive properties of the index value in limiting regimes: we consider the behavior of the index (i) as the number of customers in a class grows large, which allows us to derive the asymptotic structure of the index policies, (ii) as the abandonment rate vanishes, which allows us to retrieve an index policy proposed for the multi-class M/M/1 queue with convex holding cost and no abandonments, and (iii) as the arrival rate goes to either 0 or $\infty$, representing light- and heavy-traffic regimes, respectively. We show that Whittle's index policy is asymptotically optimal in both light- and heavy-traffic regimes.To obtain further insights into the index policy, we consider the fluid version of the relaxed problem and derive a closed-form expression for the fluid index. The latter coincides with the stochastic model in case of linear holding costs. For arbitrary convex holding cost the fluid index can be seen as the $Gc\mu/\theta$-rule, that is, including abandonments into the generalized $c\mu$-rule ($Gc\mu$-rule). Numerical experiments show that our index policies become optimal as the load in the system increases. Two-component equations modelling water waves with constant vorticityIn this paper we derive a two-component system of nonlinear equations which model two-dimensional shallow water waves with constant vorticity. Then we prove well-posedness of this equation using a geometrical framework which allows us to recast this equation as a geodesic flow on an infinite dimensional manifold. Finally, we provide a criteria for global existence. Riesz transforms of the Hodge-de Rham Laplacian on Riemannian manifoldsLet $M$ be a complete non-compact Riemannian manifold satisfying the doubling volume property. Let $\overrightarrow{\Delta}$ be the Hodge-de Rham Laplacian acting on $1$-differential forms. According to the Bochner formula, $\overrightarrow{\Delta}=\nabla^*\nabla+R_+-R_-$ where $R_+$ and $R_-$ are respectively the positive and negative part of the Ricci curvature and $\nabla$ is the Levi-Civita connection. We study the boundedness of the Riesz transform $d^*(\overrightarrow{\Delta})^{-\frac{1}{2}}$ from $L^p(\Lambda^1T^*M)$ to $L^p(M)$ and of the Riesz transform $d(\overrightarrow{\Delta})^{-\frac{1}{2}}$ from $L^p(\Lambda^1T^*M)$ to $L^p(\Lambda^2T^*M)$. We prove that, if the heat kernel on functions $p_t(x,y)$ satisfies a Gaussian upper bound and if the negative part $R_-$ of the Ricci curvature is $\epsilon$-sub-critical for some $\epsilon\in[0,1)$, then $d^*(\overrightarrow{\Delta})^{-\frac{1}{2}}$ is bounded from $L^p(\Lambda^1T^*M)$ to $L^p(M)$ and $d(\overrightarrow{\Delta})^{-\frac{1}{2}}$ is bounded from $L^p(\Lambda^1T^*M)$ to $L^p(\Lambda^2T^* M)$ for $p\in(p_0',2]$ where $p_0>2$ depends on $\epsilon$ and on a constant appearing in the doubling volume property. A duality argument gives the boundedness of the Riesz transform $d(\Delta)^{-\frac{1}{2}}$ from $L^p(M)$ to $L^p(\Lambda^1T^*M)$ for $p\in [2,p_0)$ where $\Delta$ is the non-negative Laplace-Beltrami operator. We also give a condition on $R_-$ to be $\epsilon$-sub-critical under both analytic and geometric assumptions.
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