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In a recent work of A.Bensoussan and J.Turi, it has been shown that the solution of a stochastic variational inequality modeling an elasto-plastic oscillator excited by a white noise has a unique invariant probability measure. The latter is useful for engineering in order to evaluate statistics of plastic deformations for large times of a certain type of mechanical structure. However, in terms of mathematics, not much is known about its regularity properties. From then on, an interesting mathematical question is to determine them. Therefore, in order to investigate this question, we introduce in this paper approximate solutions of the stochastic variational inequality by a penalization method. The idea is simple: the inequality is replaced by an equation with a nonlinear additional term depending on a parameter n penalizing the solution whenever it goes beyond a prespeci ed area. In this context, the dynamics is smoother. In a rst part, we show that the penalized process converges towards the original solution of the aforementioned inequality on any finite time interval as n goes to infinity. Then, in a second part, we justify that for each n it has at least one invariant probability measure. We conjecture that it is unique, but unfortunately we are not able to prove it. Finally, we provide numerical experiments in support of our conjecture. Moreover, we give an empirical convergence rate of the sequence of measures related to the penalized process.
The resolution of conflicts between n aircraft is highly combinational and cannot be optimally solved using classical mathematical optimization techniques. Using a priority order to solve a n-aircraft conflict is much easier but the solution is not optimal. FACES (free-flight autonomous coordinated en route solver) is a model for coordinated on-board sequential conflict solving. In this project, conflict-free trajectories are obtained by applying elementary maneuvers to each aircraft, sequentially, according to some priority order. In this paper, a comparative study on a set of proposed priority heuristics to provide a suitable priority order is presented, and aggregated heuristics are compared according to some criteria. The conflict solver FACES using heuristics is tested in en-route upper airspace within an air traffic simulator using real traffic data.
We consider a Hotelling game where a finite number of retailers choose a location, given that their potential customers are distributed on a network. Retailers do not compete on price but only on location, therefore each consumer shops at the closest store. We show that when the number of retailers is large enough, the game admits a pure Nash equilibrium and we construct it. We then compare the equilibrium cost bore by the consumers with the cost that could be achieved if the retailers followed the dictate of a benevolent planner. We perform this comparison in term of the induced price of anarchy, i.e., the ratio of the worst equilibrium cost and the optimal cost, and the induced price of stability, i.e., the ratio of the best equilibrium cost and the optimal cost. We show that, asymptotically in the number of retailers, these ratios are two and one, respectively.
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