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We analyze an inhomogeneous system of coupled reaction-diffusion equations representing the dynamics of gene expression during differentiation of nerve cells. The outcome of this developmental phase is the formation of distinct functional areas separated by sharp and smooth boundaries. It proceeds through the competition between the expression of two genes whose expression is driven by monotonic gradients of chemicals, and the products of gene expression undergo local diffusion and drive gene expression in neighboring cells. The problem therefore falls in a more general setting of species in competition within a non-homogeneous medium. We show that in the limit of arbitrarily small diffusion, there exists a unique monotonic stationary solution, which splits the neural tissue into two winner-take-all parts at a precise boundary point: on both sides of the boundary, different neuronal types are present. In order to further characterize the location of this boundary, we use a blow-up of the system and define a traveling wave problem parametrized by the position within the monotonic gradient: the precise boundary location is given by the unique point in space at which the speed of the wave vanishes.
The derivation of the brackets among coordinates and momenta for classical constrained systems is a necessary step toward their quantization. Here we present a new approach for the determination of the classical brackets which does neither require Dirac's formalism nor the symplectic method of Faddeev and Jackiw. This approach is based on the computation of the brackets between the constants of integration of the exact solutions of the equations of motion. From them all brackets of the dynamical variables of the system can be deduced in a straightforward way.
Les groupes d'automate ont été introduits dans les années 1960-1970 par des mathématiciens spécialistes de la théorie des groupes. Ils ont permis dans les années qui ont suivi de répondre à des conjectures importantes de théorie des groupes. Les (semi-)groupes d'automate sont un objet d'étude en soi. Dans ce cours, nous nous intéressons au problème de décision de la finitude, en particulier aux résultats liés à la structure de l'automate.
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