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We prove existence results concerning equations of the type $-\Gd_pu=F(u)+\gm$ for $p>1$ and $F_k[-u]u=F(u)+\gm$ with $1\leq k<\frac{N}{2}$ in a bounded domain $\Omega$, where $\gm$ is a positive Radon measure and $F(u)\sim e^{au^\beta}$ with $a>0$ and $\beta\geq 1$. Sufficient conditions for existence are expressed in terms of the maximal fractional potential of $\gm$. Two-sided estimates on the solutions are obtained in terms of some precise Wolff potentials of $\gm$. Necessary conditions are obtained in terms of Orlicz capacities. We also establish existence results for a general Wolff potential equation under the form $u={\bf W}_{\alpha,p}[F(u)]+f$
The extreme characteristics of long wave run-up are studied in this paper. First we give a brief overview of the existing theory which is mainly based on the hodograph transformation (Carrier & Greenspan, 1958). Then, using numerical simulations, we build on the work of Stefanakis et al. (2011) for an infinite sloping beach and we find that resonant run-up amplification of monochromatic waves is robust to spectral perturbations of the incoming wave and resonant regimes do exist for certain values of the frequency. In the setting of a finite beach attached to a constant depth region, resonance can only be observed when the incoming wavelength is larger than the distance from the undisturbed shoreline to the seaward boundary. Wavefront steepness is also found to play a role in wave run-up, with steeper waves reaching higher run-up values.
We study the almost sure convergence of the normalized columns in an infinite product of nonnegative matrices, and the almost sure rank one property of its limit points. Given a probability on the set of $2\times2$ nonnegative matrices, with finite support $\mathcal A=\{A(0),\dots,A(s-1)\}$, and assuming that at least one of the $A(k)$ is not diagonal, the normalized columns of the product matrix $P_n=A(\omega_1)\dots A(\omega_n)$ converge almost surely (for the product probability) with an exponential rate of convergence if and only if the Lyapunov exponents are almost surely distinct. If this condition is satisfied, given a nonnegative column vector $V$ the column vector $\frac{P_nV}{\Vert P_nV\Vert}$ also converges almost surely with an exponential rate of convergence. On the other hand if we assume only that at least one of the $A(k)$ do not have the form $\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}$, $ad\ne0$, nor the form $\begin{pmatrix}0&b\\d&0\end{pmatrix}$, $bc\ne0$, the limit-points of the normalized product matrix $\frac{P_n}{\Vert P_n\Vert}$ have almost surely rank~$1$ --~although the limits of the normalized columns can be distinct~-- and $\frac{P_nV}{\Vert P_nV\Vert}$ converges almost surely with a rate of convergence that can be exponential or not exponential.
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