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We present a direct proof of Malus' theorem in geometrical Optics founded on the symplectic structure of the set of all oriented straight lines in an Euclidean affine space. Nous présentens une preuve directe du théorème de Malus de l'optique géométrique basée sur la structure symplectique de l'ensemble des droites orientées d'un espace affine euclidien.
Field-, temperature- and angle-dependent Fourier amplitude of de Haas-van Alphen (dHvA) oscillations are calculated for compensated two-dimensional (2D) metals with textbook Fermi surface (FS) composed of one hole and two electron orbits connected by magnetic breakdown. It is demonstrated that, taking into account the opposite sign of electron and hole orbits, a given Fourier component involves combination of several orbits, the contribution of which must be included in the calculations. Such FS is observed in the strongly 2D organic metal alpha-'pseudo-kappa'-(ET)4H3O[Fe(C2O4)3].(C6H4Br2), dHvA oscillations of which have been studied up to 55 T for various directions of the magnetic field with respect to the conducting plane. Calculations are in good quantitative agreement with the data.
Stability theory based on a variational principle and finite-time direct-adjoint optimization commonly relies on the kinetic perturbation energy density E-1(t ) = (1/V-Omega) integral(Omega) e(x, t) d Omega (where e(x, t) = vertical bar u vertical bar(2)/2) as a measure of disturbance size. This type of optimization typically yields optimal perturbations that are global in the fluid domain Omega of volume V-Omega. This paper explores the use of p-norms in determining optimal perturbations for 'energy' growth over prescribed time intervals of length T. For p = 1 the traditional energy-based stability analysis is recovered, while for large p >> 1, localization of the optimal perturbations is observed which identifies confined regions, or 'hotspots', in the domain where significant energy growth can be expected. In addition, the p-norm optimization yields insight into the role and significance of various regions of the flow regarding the overall energy dynamics. As a canonical example, we choose to solve the infinity-norm optimal perturbation problem for the simple case of two-dimensional channel flow. For such a configuration, several solutions branches emerge, each of them identifying a different energy production zone in the flow: either the centre or the walls of the domain. We study several scenarios (involving centre or wall perturbations) leading to localized energy production for different optimization time intervals. Our investigation reveals that even for this simple two-dimensional channel flow, the mechanism for the production of a highly energetic and localized perturbation is not unique in time. We show that wall perturbations are optimal (with respect to the infinity-norm) for relatively short and long times, while the centre perturbations are preferred for very short and intermediate times. The developed p-norm framework is intended to facilitate worst-case analysis of shear flows and to identify localized regions supporting dominant energy growth.
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