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The aim of this work is to establish that the bifurcation parameter value leading to a canard explosion in dimension two obtained by the so-called Geometric Singular Perturbation Method can be found according to the Flow Curvature Method. This result will be then exemplified with the classical Van der Pol oscillator.
Ce document est un cours d'analyse mathématique en deux parties: Chapitres 1 à 5 : fonctions d'une variable complexe (homologie des lacets dans le plan, théorie de Cauchy, résidus, fonctions eulériennes, transformations conformes); Chapitres 6 à 11 : initiation à l'Analyse fonctionnelle (transformations de Fourier, distributions de Schwartz, espaces de Hilbert, opérateurs, outils mathématiques de la Mécanique quantique) Ce cours d'analyse ne prétend pas être original; au contraire, je me suis efforcé d'y mettre juste ce qu'il faut pour une initiation. Son contenu a fait l'objet d'un enseignement dans une école d'ingénieurs pendant une dizaine d'années. Il a donc été progressivement adapté à un public réel, ce qui m'a conduit à supprimer des considérations spécialisées qui n'intéressent que les mathématiciens. Il ne s'agissait pas de préparer les étudiants à la recherche en mathématique, mais de leur faire acquérir des outils de base tels que le Calcul des résidus, les fonctions eulériennes, ou les distributions, avec juste assez de théorie pour comprendre, mais tout ce qu'il faut pour comprendre. Il n'y a donc pas de compromis avec la rigueur des démonstrations; seulement avec la généralité ou la spécialisation.
At the beginning of the twentieth century while Henri Poincaré (1854-1912) was already deeply involved in the developments of wireless telegraphy, he was invited, in 1908, to give a series of lectures at the École Supérieure des Postes et Télégraphes (today Sup'Télecom). In the last part of his presentation he established that the necessary condition for the existence of a stable regime of maintained oscillations in a device of radio engineering completely analogous to the triode: the singing arc, is the presence in the phase plane of stable limit cycle. The aim of this work is to prove that the correspondence highlighted by Andronov between the periodic solution of a non-linear second order differential equation and Poincaré's concept of limit cycle has been carried out by Poincaré himself, twenty years before in these forgotten conferences of 1908.
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