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Given a hyperbolic quadric of PG(5, 2), there are 28 points off this quadric and 56 lines skew to it. It is shown that the $(28_6, 56_3)$-configuration formed by these points and lines is isomorphic to the combinatorial Grassmannian of type $G_2(8)$. It is also pointed out that a set of seven points of $G_2(8)$ whose labels share a mark corresponds to a Conwell heptad of PG(5, 2). Gradual removal of Conwell heptads from the $(28_6, 56_3)$-configuration yields a nested sequence of binomial configurations identical with part of that found to be associated with Cayley-Dickson algebras (arXiv:1405.6888).
We introduce a finite volume Discontinuous Arbitrary Lagrangian-Eulerian (DiscALE) alternative to the computation of compressible fluid dynamics. This new proposed framework take naturally into account dynamical refinement/coarsening/reconnection on a direct discretization of a new {\bf non-smooth kinematic} mesh contribution. Two practical interesting properties of the method are -1- to deal with arbitrary polygonal mesh (initial or at each time step) and -2- to recover exactly Lagrangian, Eulerian or classical continuous ALE mode by omitting this non-smooth velocity. Moreover, it also appears that many meshing tools techniques can be seen as a direct discretization of this new discontinuous kinematic equation on a generic edge based patch. In this context, polygonal ALE-AMR (conformal or not) as well as edge swapping on simplices are special cases. Moreover, all underlying local mesh modification must verify a natural locality hypothesis (CFL constraint) and all associated Discrete Geometric Conservation Laws (DGCL) are exactly solved without computing any polygons/polygons intersections. The classical remapping fluxing scheme (swept or self intersection) has been extended to take into account the topological transformation of the boundary between two adjacent cells that generalize simplicial swapping.
This paper slightly improves a classical result by Gangbo and McCann (1996) about the structure of optimal transport plans for costs that are concave functions of the Euclidean distance. Since the main difficulty for proving the existence of an optimal map comes from the possible singularity of the cost at $0$, everything is quite easy if the supports of the two measures are disjoint; Gangbo and McCann proved the result under the assumption $\mu(\spt(\nu))=0$; in this paper we replace this assumption with the fact that the two measures are singular to each other. In this case it is possible to prove the existence of an optimal transport map, provided the starting measure $\mu$ does not give mass to small sets (i.e. $(d\!-\!1)-$rectifiable sets). When the measures are not singular the optimal transport plan decomposes into two parts, one concentrated on the diagonal and the other being a transport map between mutually singular measures.
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