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We will first review known results on multi-solitons of dispersive partial differential equations, which are special solutions behaving like the sum of many weakly-interacting solitary waves. We will then describe our recent joint work with Dong Li on nonlinear Schrödinger equations: Assuming the composing solitons have sufficiently large relative speeds, we prove the existence and uniqueness of a soliton train which is a multi-soliton composed of infinitely many solitons. In the 1D case, we can add to the infinite train an additional half-kink, which is a solution with a non-zero background at minus infinity.
In this paper, we define and study strong right-invariant sub-Riemannian structures on the group of diffeomorphisms of a manifold with bounded geometry. We establish some approximate and exact reachability properties, and we derive the Hamiltonian geodesic equations for such structures. We provide examples of normal and of abnormal geodesics in that infinite-dimensional context.
The purpose of the present work is to establish decorrelation estimates at distinct energies for some random Schrödinger operator in dimension one. In particular, we establish the result for some random operators on the continuum with alloy-type potential. These results are used to give a description of the spectral statistics.
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