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Quandle cocycle invariants form a powerful and well developed tool in knot theory. This paper treats their variations - namely, positive and twisted quandle cocycle invariants, and shadow invariants. We interpret the former as particular cases of the latter. As an application, several constructions from the shadow world are extended to the positive and twisted cases. Another application is a sharpening of twisted quandle cocycle invariants for multi-component links.
We suggest giving some mathematical methods for representing the universe. We begin with a representation based on the chronological …fields. This representation is satisfactory locally, but insufficient if we want to describe the universe in its entirety. We model the universe by measuring its states. By using the theory of surgery, we can describe the universe in its entirety. The fundamental problem of this representation is that we can only make local measurements on these states. Even by using the analytical hypothesis, we cannot describe states far away from the events where the measurements are made. To overcome this difficulty, we bring in a (G,ℝ⁴)-structure. Since the property of analytical extension is not generalised, we cannot have a total description of our universe. The last representation uses complex dimensions, in other words on dimensional systems, which are connected by a “ space fi…eld". There are two advantages for this presentation approach, the …rst is that we forget the fundamental role of time and the asymmetry of the dimensions. The second avantange is the existence of an interaction between the dimensions through the existence of a “space fi…eld". We left this description of the universe, because we believe that by improving this model, we can produce an interesting representation of the universe.
We prove a local limit theorem for nearest neighbours random walks in stationary random environment of conductances on Z without using any of both classic assumptions of uniform ellipticity and independence on the conductances. Besides the central limit theorem, we use discrete differential ''Nash-type inequalities" associated with the Hausdorff's representation of the completely decreasing sequences.
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