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Article Dans Une Revue International Journal of Biomathematics Année : 2020

On the Simpson index for the Moran process with random selection and immigration

Résumé

Moran or Wright-Fisher processes are probably the most well known model to study the evolution of a population under various effects. Our object of study will be the Simpson index which measures the level of diversity of the population, one of the key parameter for ecologists who study for example forest dynamics. Following ecological motivations, we will consider here the case where there are various species with fitness and immigration parameters being random processes (and thus time evolving). To measure biodiversity, ecologists generally use the Simpson index, who has no closed formula, except in the neutral (no selection) case via a backward approach, and which is difficult to evaluate even numerically when the population size is large. Our approach relies on the large population limit in the "weak" selection case, and thus to give a procedure which enable us to approximate, with controlled rate, the expectation of the Simpson index at fixed time. Our approach will be forward and valid for all time, which is the main difference with the historical approach of Kingman, or Krone-Neuhauser. We will also study the long time behaviour of the Wright-Fisher process in a simplified setting, allowing us to get a full picture for the approximation of the expectation of the Simpson index.
Les processus de Moran ou Wright-Fisher sont probablement le modèle le plus connu pour étudier l'évolution d'une population sous divers aspects. Notre objet d'étude sera l'indice de Simpson qui mesure le niveau de diversité de la population, un des paramètres clés pour les écologistes qui étudient par exemple la dynamique des forêts. Suivant les motivations écologiques, nous considérerons ici le cas où il existe plusieurs espèces dont les paramètres de condition physique et d'immigration sont des processus aléatoires (et donc évoluant dans le temps). Pour mesurer la biodiversité, les écologistes utilisent généralement l'indice de Simpson, qui n'a pas de formule fermée, sauf dans le cas neutre (pas de sélection) via une approche à rebours, et qui est difficile à évaluer même numériquement lorsque la taille de la population est grande. Notre approche s'appuie sur la limite de la grande population dans le cas de la sélection "faible", et ainsi de donner une procédure qui permet d'approximer, avec un taux contrôlé, l'espérance de l'indice de Simpson à temps fixe. Notre approche sera prospective et valable pour tout le temps, ce qui est la principale différence avec l'approche historique de Kingman, ou de Krone-Neuhauser. Nous étudierons également le comportement à long terme du processus de Wright-Fisher dans un cadre simplifié, ce qui nous permettra d'obtenir une image complète de l'approximation de l'espérance de l'indice de Simpson.
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hal-01877501 , version 1 (24-09-2018)

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Paternité

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Citer

Arnaud Personne, Arnaud Guillin, Franck Jabot. On the Simpson index for the Moran process with random selection and immigration. International Journal of Biomathematics, 2020, 13 (6), ⟨10.1142/S1793524520500461⟩. ⟨hal-01877501⟩
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