%0 Unpublished work
%T Intégrales orbitales sur $GL(N,{\Bbb F}_q((t)))$
%+ Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
%A Lemaire, Bertrand
%Z 80 pages, in French
%8 2016-05-23
%D 2016
%Z 1605.07076
%K intégrale orbitale
%K discriminant de Weyl
%Z 22E50
%Z Mathematics [math]/Representation Theory [math.RT]Preprints, Working Papers, ...
%X Let $F$ be a non--Archimedean local field of characteristic $\geq 0$, and let $G=GL(N,F)$, $N\geq 1$. An element $\gamma\in G$ is said to be quasi--regular if the centralizer of $\gamma$ in $M(N,F)$ is a product of field extensions of $F$. Let $G_{\rm qr}$ be the set of quasi--regular elements of $G$. For $\gamma\in G_{\rm qr}$, we denote by $\mathcal{O}_\gamma$ the ordinary orbital integral on $G$ associated with $\gamma$. In this paper, we replace the Weyl discriminant $\vert D_G\vert$ by a normalization factor $\eta_G: G_{\rm qr}\rightarrow {\Bbb R}_{>0}$ which allows us to obtain the same results as proven by Harish--Chandra in characteristic zero: for $f\in C^\infty_{\rm c}(G)$, the normalized orbital integral $I^G(\gamma,f)=\eta_G^{1\over 2}(\gamma)\mathcal{O}_\gamma(f)$ is bounded on $G$, and for $\epsilon>0$ such that $N(N-1)\epsilon <1$, the function $\eta_G^{-{1\over 2}-\epsilon}$ is locally integrable on $G$.
%X Soit F un corps local non archimédien de caractéristique ≥ 0, et soit G = GL(N, F ), N ≥ 1. Un élément γ ∈ G est dit quasi–régulier si le centralisateur de γ dans M(N,F) est un produit d’extensions de F. Soit Gqr l’ensemble des éléments quasi–réguliers de G. Pour γ ∈ Gqr, on note Oγ l’intégrale orbitale ordinaire sur G associée à γ. On remplace ici le discriminant de Weyl |DG| par un facteur de normalisation ηG : Gqr → R>0 permettant d’obtenir les mêmes résultats que ceux prouvés par Harish–Chandra en caractéristique nulle : pour f ∈ Cc∞(G), l’intégrale 1 orbitale normalisée IG(γ,f) = ηG2 (γ)Oγ(f) est bornée sur G, et pour ǫ > 0 tel que − 1 −ǫ N(N − 1)ǫ < 1, la fonction η 2 est localement intégrable sur G.
%G French
%L hal-01327228
%U https://hal.science/hal-01327228
%~ CNRS
%~ UNIV-AMU
%~ EC-MARSEILLE
%~ INSMI
%~ I2M
%~ I2M-2014-
%~ ANR