Large scale conformal maps

Applications conformes à grande échelle

Pierre Pansu (1)

1 Université Paris Sud

Roughly speaking, let us say that a map between metric spaces is large scale conformal if it maps packings by large balls to large quasi-balls with limited overlaps. This quasi-isometry invariant notion makes sense for finitely generated groups. Inspired by work by Benjamini and Schramm, we show that under such maps, some kind of dimension increases: exponent of volume growth for nilpotent groups, conformal dimension of the ideal boundary for hyperbolic groups. A purely metric space notion of ℓ p-cohomology plays a key role.

En première approximation, une application entre espaces métriques est conforme à grande échelle si elle envoie les grandes boules sur de grandes quasi-boules, qui se chevauchent de manière modérée. Cette notion invariante par quasi-isométrie s'applique aux groupes de type fini. En s'inspirant de travaux de Benjamini et Schramm, nous montrons qu'en présence d'une telle application, une notion adéquate de dimension doit augmenter : pour les groupes nilpotents, il s'agit de l'exposant de croissance polynômiale du volume ; pour les groupes hyperboliques, c'est la dimension conforme du bord à l'infini. Ce qui joue un rôle crucial, c'est une notion purement métrique de cohomologie Lp.

Mots clés: conformal mapping; large scale geometry; finitely generated group; asymptotic invariant; quasiisometry; conformal dimension; P-harmonic map; Quasiconformal map; Lp-cohomology

Domaines: Géométrie différentielle [math.DG]; Géométrie métrique [math.MG]

Pierre Pansu. Large scale conformal maps. 2016. ⟨hal-01297830v2⟩