Caractères tordus des représentations admissibles

Bertrand Lemaire (1)

1 I2M - Institut de Mathématiques de Marseille

Let F be a non–Archimedean locally compact field (car(F ) ≥ 0), G be a connected reductive group defined over F, θ be an F–automorphism of G, and ω be a character of G(F ). We fix a Haar measure dg on G(F ). For a smooth irreducible (θ, ω)–stable complex representation π of G(F ), that is such that π ◦ θ ≃ π ⊗ ω, the choice of an isomorphism A from π ⊗ ω to π ◦ θ defines a distribution ΘAπ , called the « (A–)twisted character of π » : for a compactly supported locally constant function f on G(F), we put ΘAπ (f) = trace(π(fdg) ◦ A). In this paper, we study these distributions ΘAπ , without any restrictive hypothesis on F , G or θ. We prove in particularthattherestrictionofΘAπ ontheopendensesubsetofG(F)formedofthose elements which are θ–quasi–regular is given by a locally constant function, and we describe how this function behaves with respect to parabolic induction and Jacquet restriction. This leads us to take up again the Steinberg theory of automorphisms of an algebraic group, from a rationnal point of view.

Soit F un corps commutatif localement compact non archimédien de caractéristique quelconque, G un groupe réductif connexe défini sur F, θ un F– automorphisme de G, et ω un caractère de G(F ). On fixe une mesure de Haar dg sur G(F ). Si π est une représentation complexe lisse irréductible (θ, ω)–stable de G(F ), c’est–à–dire telle que π ◦ θ ≃ π ⊗ ω, le choix d’un isomorphisme A de π ⊗ ω sur π ◦ θ définit une distribution ΘAπsur G(F ), appelée « caractère (A–)tordu de π » : pour toute fonction f sur G(F ), localement constante et à support compact, on pose ΘAπ (f) = trace(π(fdg) ◦ A). Dans cet article, on étudie ces distributions ΘAπ , sans hypothèse restrictive sur F, G ou θ. On prouve en particulier que la restriction de ΘAπ à l’ouvert dense de G(F) formé des éléments θ–quasi–réguliers est donnée par une fonction localement constante, et l’on décrit le comportement de cette fonction par rapport à l’induction parabolique et à la restriction de Jacquet. Cela nous amène à reprendre la théorie de Steinberg sur les automorphismes d’un groupe algébrique, d’un point de vue rationnel.

Mots clés: fonction caractère; caractère–distribution; corps local non archimédien; groupe réductif; espace tordu; élément quasi–semisimple; élément quasi–régulier; représentation admissible; intégrale orbitale; formule d’intégration de Weyl.

Domaines: Théorie des représentations [math.RT]

Bertrand Lemaire. Caractères tordus des représentations admissibles. 2016. ⟨hal-01292447⟩