%0 Book Section
%T Théorie des nombres et cryptographie
%+ Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
%+ University of New South Wales [Sydney] (UNSW)
%A Kohel, David
%A Shparlinski, Igor E.
%B Arithmétique et dynamique. Chaires Jean Morlet 2014, SMF Journée Annuelle
%V 27
%P 1-23
%8 2014-06-20
%D 2014
%K théorie des nombres
%K cryptographie
%Z Mathematics [math]/Number Theory [math.NT]
%Z Mathematics [math]/Information Theory [math.IT]Book sections
%X Modern cryptographic constructions are based on constructions from number theory, but many of the links go deeper than typically realized. The development of modern cryptography runs in parallel to developments and central questions in number theory. After recalling some of the constructions used in modern public key cryptography, based on modular arithmetic, finite fields, lattices and elliptic curves, we describe some of their number theoretic origins. The first concerns the Riemann hypothesis and associated questions of distributions of prime numbers and smooth numbers, and of distributions of divisors of integers. Next we consider the origins of elliptic curve cryptography, beginning from Hasse's theorem, the conjectures of Weil, and Schoof's algorithm. Finally we mention the context of Mordell's theorem and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer. In conclusion we consider the future prospects of these cryptosystems.
%X Des constructions en cryptographie moderne sont basées sur la théorie des nombres. Toutefois, les liens entre ces deux domaines sont plus profonds qu'il n'y paraît. Le développement de la cryptographie moderne a eu lieu en parallele avec des developpements et des questions centrales en théorie des nombres. Après des rappels de constructions en cryptographie à clef publique, à base de l'arithmétique modulaire, des corps finis, des réseaux et des courbes elliptiques, nous décrivons quelques unes de ces racines en théorie des nombres. La première concerne l'hypothèse de Riemann et les questions associées sur la distribution des nombres premiers et des nombres friables, et des distributions des diviseurs d'entiers. Puis on considère les origines de la cryptographie à base de courbes elliptiques, en commençant par le théorème de Hasse, les conjectures de Weil, et l'algorithme de Schoof. Finalement on se place dans le contexte du théorème de Mordell et de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. En conclusion on considère les perspectives d'avenir pour ces cryptosystèmes.
%G French
%2 https://hal.science/hal-01257075/document
%2 https://hal.science/hal-01257075/file/NT-Crypto.fr.pdf
%L hal-01257075
%U https://hal.science/hal-01257075
%~ CNRS
%~ UNIV-AMU
%~ EC-MARSEILLE
%~ I2M
%~ I2M-2014-