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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2014

A monotonicity formula for minimal sets with a sliding boundary condition

Guy David
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 849452

Résumé

We prove a monotonicity formula for minimal or almost minimal sets for the Hausdorff measure $\H^d$, subject to a sliding boundary constraint where competitors for $E$ are obtained by deforming $E$ by a one-parameter family of functions $\varphi_t$ such that $\varphi_t(x) \in L$ when $x\in E$ lies on the boundary $L$. In the simple case when $L$ is an affine subspace of dimension $d-1$, the monotone or almost monotone functional is given by $F(r) = r^{-d} \H^d(E \cap B(x,r)) + r^{-d} \H^d(S \cap B(x,r))$, where $x$ is any point of $E$ (not necessarily on $L$) and $S$ is the shade of $L$ with a light at $x$. We then use this, the description of the case when $F$ is constant, and a limiting argument, to give a rough description of $E$ near $L$ in two simple cases.
On donne une formule de monotonie pour des ensembles minimaux ou presque minimaux pour la mesure de Hausdorff HdH^d, avec une condition de bord où les compétiteurs de EE sont obtenus en déformant EE par une famille à un paramètre de fonctions φt\varphi_t telles que φt(x)∈L\varphi_t(x) \in L quand x∈Ex\in E se trouve sur la frontière LL. Dans le cas simple où LL est un sous-espace affine de dimension d−1d-1, la fonctionelle monotone ou presque monotone est donnée par F(r)=r−dHd(E∩B(x,r))+r−dHd(S∩B(x,r))F(r) = r^{-d} H^d(E \cap B(x,r)) + r^{-d} H^d(S \cap B(x,r)), où xx est un point de EE, pas forcément dans LL, et SS est l'ombre de LL, éclairée depuis xx. On utilise ceci, la description des cas où FF est constante, et un argument de limite, pour donner une description de EE près de LL dans deux cas simples.
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Dates et versions

hal-01059316 , version 1 (29-08-2014)

Identifiants

Citer

Guy David. A monotonicity formula for minimal sets with a sliding boundary condition. 2014. ⟨hal-01059316⟩
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