Résolution numérique de problèmes aux limites déterministes par des méthodes stochastiques

Jean-Paul Morillon (1)

1 PIMENT - Physique et Ingénierie Mathématique pour l'Énergie, l'environnemeNt et le bâtimenT

La résolution numérique de problèmes aux limites peut être faite en mettant en \oe uvre des méthodes d'éléments finis ou de différences finies. Des méthodes de Monte-Carlo peuvent également être appliquées\,; elles conduisent, après discrétisation des équations, à des traitements particuliers liés à la géométrie locale des domaines. Pour éviter la gestion du maillage ou la discrétisation des équations --- et pour alléger la programmation --- nous présentons, dans cette contribution, une autre voie en utilisant directement les représentations stochastiques. Celles-ci ont déjà été utilisées pour calculer la solution de problèmes aux limites linéaires avec condition de Dirichlet \cite{souza:94}. Á notre connaissance, peu de simulations conduisant à la solution de problèmes avec condition de Fourier (combinaison linéaire des conditions de Dirichlet et de Neumann) ou avec non linéarité du second membre, ont été exposées. Dans ces conditions, des simulations se sont avérées nécessaires. Ce travail nous a conduit, dans un premier temps \cite{morillon:95}, à l'élaboration de la méthode pour des problèmes aux limites déterministes linéaires stationnaires avec des conditions de divers types. Dans un deuxième temps, des problèmes aux limites d'évolution, linéaires et non linéaires, ont été traités. La motivation essentielle a été la recherche d'algorithmes conduisant à une programmation aisée avec peu d'instructions. Ceci peut induire des temps de calcul plus élevés, dépendant des moyens de calcul informatique. Les méthodes numériques qui en découlent ne nécessitent pas d'entrer en mémoire des maillages de discrétisation des domaines, ni de gérer les tableaux de numérotation qui les accompagnent. Ceci conduit à une programmation courte, facile à vérifier pas à pas et, de plus, le passage à une géométrie tridimensionnelle n'a imposé que quelques lignes supplémentaires.

Domaines: Probabilités [math.PR]

Jean-Paul Morillon. Résolution numérique de problèmes aux limites déterministes par des méthodes stochastiques. CANUM'95, May 1995, Besse, France. ⟨hal-00967610⟩