Les inégalités de SP-partition pour le problème du sous-graphe k-arête connexe

Ibrahima Diarrassouba (1) , Lise Slama (1)

1 LIMOS - Laboratoire d'Informatique, de Modélisation et d'optimisation des Systèmes

Un graphe G = (V, E) est dit k-arête connexe, avec k un entier positif, s'il existe au moins k chaînes arête-disjointes entre chaque paire de sommets i, j ∈ V. Etant donnée une fonction de poids c : E → R+, le problème du sous-graphe k-arête connexe de poids minimum, noté kECSP, consiste à trouver un sous-graphe couvrant k-arête connexe de G de poids minimum. On note kECSP(G) l'enveloppe convexe des solutions de ce problème. Dans ce rapport, on s'intéresse aux contraintes dites de SP-partition qui sont valides pour kECSP. Elles sont définies pour des partitions induisant des graphes série-parallèles. Nous étudions les conditions sous lesquelles ces contraintes définissent des facettes de kECSP(G). Dans un premier temps, nous nous intéressons aux graphes outerplanaires en nous appuyant sur les résultats de Chopra [3], de Didi Biha [1], et de Didi Biha et Mahjoub [2]. On donne des conditions nécessaires supplémentaires qui nous permettent de déduire des conditions nécessaires et suffisantes de facette des contraintes de SP-partition pour les graphes outerplanaires. Nous montrons ensuite qu'une contrainte de SP-partition, dans le cas où G est série-parallèle et la partition induit un graphe série-parallèle et non outerplanaire, ne définit pas une facette. Enfin nous donnons quelques éléments de réflexion dans le cas où le graphe est quelconque.

Mots clés: Graphes série-parallèle; graphes outerplanaires; contraintes de SP-partition; facette

Domaines: Recherche opérationnelle [math.OC]

Ibrahima Diarrassouba, Lise Slama. Les inégalités de SP-partition pour le problème du sous-graphe k-arête connexe. 2007. ⟨hal-00678359⟩