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TLCA 2011 - 10th Typed Lambda Calculi and Applications, Novi Sad : Serbie (2011)
The Biequivalence of Locally Cartesian Closed Categories and Martin-Löf Type Theories
Pierre Clairambault ( ) 1, Peter Dybjer ( ) 2
(01/06/2011)

Seely's paper "Locally cartesian closed categories and type theory" contains a well-known result in categorical type theory: that the category of locally cartesian closed categories is equivalent to the category of Martin-Löf type theories with Pi-types, Sigma-types and extensional identity types. However, Seely's proof relies on the problematic assumption that substitution in types can be interpreted by pullbacks. Here we prove a corrected version of Seely's theorem: that the Bénabou-Hofmann interpretation of Martin-Löf type theory in locally cartesian closed categories yields a biequivalence of 2-categories. To facilitate the technical development we employ categories with families as a substitute for syntactic Martin-Löf type theories. As a second result we prove that if we remove Pi-types the resulting categories with families are biequivalent to left exact categories.
1 :  Computer Laboratory [Cambridge]
University of Cambridge
2 :  Department of Computer Science and Engineering (CSE)
Chalmers University of Technology – University of Gothenburg
Informatique/Logique en informatique

Mathématiques/Catégories et ensembles
Martin-Lof type theory – locally cartesian closed categories – left exact categories
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