Autour de pratiques algébriques de Poincaré : héritages de la réduction de Jordan

Frederic Brechenmacher (1, 2)

1 LML - Laboratoire de Mathématiques de Lens
2 X-DEP-HSS - Département d'Humanités et Sciences Sociales de l'École polytechnique

The legacy of Jordan's canonical form on Poincaré's algebraic practices. This paper proposes a transversal overview on Henri Poincaré's early works (1878-1885). Our investigations start with a case study of a short note published by Poincaré on 1884 : "Sur les nombres complexes". In the perspective of today's mathematical disciplines - especially linear algebra -, this note seems completely isolated in Poincaré's works. This short paper actually exemplifies that the categories used today for describing some collective organizations of knowledge fail to grasp both the collective dimensions and individual specificity of Poincarés work. It also highlights the crucial and transversal role played in Poincaré's works by a specific algebraic practice of classification of linear groups by reducing the analytical representation of linear substitution to their Jordan's canonical forms. We then analyze in detail this algebraic practice as well as the roles it plays in Poincaré's works. We first provide a micro-historical analysis of Poincaré's appropriation of Jordan's approach to linear groups through the prism of the legacy of Hermite's works on algebraic forms between 1879 and 1881. This mixed legacy illuminates the interrelations between all the papers published by Poincaré between 1878 and 1885 ; especially between some researches on algebraic forms and the development of the theory of Fuchsian functions. Moreover, our investigation sheds new light on how the notion of group came to play a key role in Poincaré's approach. The present paper also offers a historical account of the statement by Jordan of his canonical form theorem. Further, we analyze how Poincaré transformed this theorem by appealing to Hermite's

Cet article propose un regard transversal sur les travaux menés par Poincaré entre 1878 et 1885. L'étude est amorcée à partir de la courte note "Sur les nombres complexes" publiée en 1884. Cette note permet de problématiser les cloisonnements disciplinaires rétrospectifs selon lesquels ont souvent été décrits les travaux de Poincaré. La note a en effet été présentée comme le point d'origine de la reconnaissance du rôle joué par l'algèbre des matrices dans les théories des algèbres associatives et de Lie, ouvrant ainsi la voie aux développements de relations entre ces deux théories et à de premiers résultats sur leurs structures. Nous montrons cependant que cette note n'est pas sous-tendue par une notion ou une théorie mais par une pratique algébrique de classification de groupes linéaires par réduction canonique (dite de Jordan) de leurs substitutions. Cette pratique algébrique s'avère jouer un rôle transversal dans les travaux de Poincaré. Nous questionnons les innovations individuelles qu'elle manifeste au regard de différentes échelles collectives. Nous analysons notamment l'appropriation par Poincaré des travaux de Jordan sur les groupes linéaires au prisme de l'héritage d'Hermite sur la réduction des formes algébriques. Cet héritage mêlé irrigue l'ensemble des travaux de Poincaré entre 1878 et 1885. Il est non seulement au coeur du développement de la célèbre théorie des fonctions fuchsiennes mais aussi de travaux sur la théorie algébrique des formes. Ces derniers n'ont été que très peu commentés jusqu'à présent. Ils ont pourtant joué un rôle clé dans l'attribution par Poincaré d'une place centrale à la notion de groupe. En amont des travaux de Poincaré, l'article étudie aussi les circonstances de l'énoncé du théorème de la réduction canonique par Jordan ainsi que la réception de ce résultat. En aval, nous évoquons le rôle des travaux de Poincaré pour la transmission d'un héritage jordano-hermitien dans les procédés du calcul des Tableaux tels que les développent au début du XXe siècle des mathématiciens comme Autonne ou Châtelet.

Mots clés: Poincaré; Jordan; Jordan's normal form; Hermite; fuchsian groups; fuchsian functions; associative algebras; history of algebra; algebraic practices; linear differential equations; algebraic forms; matrices

Mots clés: forme canonique de Jordan; fonctions et groupes fuchsiens; algèbres associatives; histoire de l'algèbre; pratiques algébriques; équations différentielles linéaires; formes algébriques

Domaines: Histoire, Philosophie et Sociologie des sciences; Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]

Frederic Brechenmacher. Autour de pratiques algébriques de Poincaré : héritages de la réduction de Jordan. 2011. ⟨hal-00630959v3⟩