Tours de groupes et diagrammes de Bratteli

Loic Poulain d'Andecy (1, 2, 3)

1 CPT - Centre de Physique Théorique - UMR 6207
2 Université de la Méditerranée - Aix-Marseille 2
3 CPT - Centre de Physique Théorique - UMR 7332

Une nouvelle approche pour la théorie des représentations du groupe symétrique a été développée par Okounkov et Vershik ; elle fournit un éclairage différent sur le sujet par rapport aux approches "traditionnelles". Par ailleurs, cette méthode vise à établir un cadre reproductible pour étudier les représentations d'autres chaînes de groupes et d'algèbres, telles que les autres séries de groupes de Coxeter finis, ou les tours d'algèbres locales et stationnaires. Dans ce mémoire, nous rappelons la présentation traditionnelle du groupe symétrique, et résumons le fond de la nouvelle approche pour sa théorie des représentations. Ensuite, nous rappelons la définition de tour d'algèbres locale et stationnaire, de diagramme de Bratteli et de ce qui est appelée base de Gelfand-Tsetlin et algèbre de Gelfand-Tsetlin dans la nouvelle approche. Nous nous sommes intéressés à la possibilité de généraliser cette approche pour la chaîne des groupes alternés. Dans ce but, nous étudions les présentations usuelles du groupe alterné, et en donnons une nouvelle qui munit la chaîne des groupes alternés d'une structure de tour locale et stationnaire ; dans chaque cas, nous réalisons l'algorithme de Coxeter-Todd et donnons une forme normale pour les éléments du groupe. Nous entamons également la recherche d'analogues des éléments de Jucys-Murphy pour les groupes alternés.

Mots clés: Alternating group; tower of algebras; Jucys-Murphy elements; Coxeter-Todd algorithm

Domaines: Physique mathématique [math-ph]; Physique mathématique [math-ph]; Théorie des représentations [math.RT]; Théorie des groupes [math.GR]

Loic Poulain d'Andecy. Tours de groupes et diagrammes de Bratteli. 2008. ⟨hal-00620392⟩