HAL : hal-00584302, version 1

arXiv : 1104.1513

DOI : 10.1016/j.jfa.2012.01.013

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Journal of Functional Analysis 262 (2012) 3186-3239

Positivity, decay, and extinction for a singular diffusion equation with gradient absorption

Razvan Gabriel Iagar 1, 2, Philippe Laurencot 1

(2012)

We study qualitative properties of non-negative solutions to the Cauchy problem for the fast diffusion equation with gradient absorption \begin{equation*} \partial_t u -\Delta_{p}u+|\nabla u|^{q}=0\quad \mbox{ in }\;\; (0,\infty)\times\RR^N, \end{equation*} where $N\ge 1$, $p\in(1,2)$, and $q>0$. Based on gradient estimates for the solutions, we classify the behavior of the solutions for large times, obtaining either positivity as $t\to\infty$ for $q>p-N/(N+1)$, optimal decay estimates as $t\to\infty$ for $p/2\le q\le p-N/(N+1)$, or extinction in finite time for $0 < q < p/2$. In addition, we show how the diffusion prevents extinction in finite time in some ranges of exponents where extinction occurs for the non-diffusive Hamilton-Jacobi equation.

1 :	Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT)
	Université Paul Sabatier - Toulouse III – Université Toulouse le Mirail - Toulouse II – Université des Sciences Sociales - Toulouse I – Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse – CNRS : UMR5219
2 :	"Simion Stoilow" Institute of Mathematics (IMAR)
	Romanian Academy of Sciences

Domaine

:

Mathématiques/Equations aux dérivées partielles

Mots Clés : Singular diffusion – gradient absorption – gradient estimates – extinction – p-Laplacian – viscosity solutions

hal-00584302, version 1

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00584302

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00584302

Contributeur : Philippe Laurencot <>

Soumis le : Vendredi 8 Avril 2011, 09:20:09

Dernière modification le : Mardi 28 Février 2012, 17:43:39