Remarks on bounded solutions of steady Hamilton-Jacobi equations

Quelques remarques sur les solutions bornées des équations stationnaires d'Hamilton-Jacobi

Gawtum Namah (1) , Mihai Bostan (1, 2)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)
2 CALVI - Scientific computation and visualization

We study here the equation $H(Du) = H(0), x \in \mathbb{R} ^N$. More precisely we investigate under which hypotheses the constant functions are the only bounded solutions. In arbitrary space dimension we prove that this happens when strict convexity and coercivity occur. In one space dimension we show that the above property holds true for hamiltonians in a larger class. These results apply when studying the long time behaviour of solutions for time-dependent Hamilton-Jacobi equations.

Dans cette note on s’intéresse à l’équation $H(Du) = H(0), x \in \mathbb{R} ^N$ et plus précisément à la question suivante : dans quels cas les fonctions constantes sont-elles les seules solutions bornées de cette équation ? On démontre que tel est le cas sous des hypothèses de stricte convexité et coercivité en dimension N quelconque. La preuve fait appel à la formule de Hopf-Lax. En une dimension d’espace on propose un résultat pour des hamiltoniens seulement faiblement coercifs moyennant une condition supplémentaire. Dans la dernière partie on utilise ces résultats pour identifier les limites asymptotiques en temps long des solutions des problèmes de Cauchy.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Gawtum Namah, Mihai Bostan. Remarks on bounded solutions of steady Hamilton-Jacobi equations. Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série I, Mathématique, 2009, 15-16 (347), pp.873-878. ⟨10.1016/j.crma.2009.06.004⟩. ⟨hal-00476301⟩