HAL : hal-00152983, version 3

arXiv : 0706.1123

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Journal de Mathématiques Pures et Appliqués 90, no. 3 (2008) 229--241

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v1 (08-06-2007)

v2 (22-06-2007)

v3 (13-06-2008)

Thurston obstructions and Ahlfors regular conformal dimension

Peter Haïssinsky 1, Kevin Pilgrim 2

(2008)

Let $f: S^2 \to S^2$ be an expanding branched covering map of the sphere to itself with finite postcritical set $P_f$. Associated to $f$ is a canonical quasisymmetry class $\GGG(f)$ of Ahlfors regular metrics on the sphere in which the dynamics is (non-classically) conformal. We show \[ \inf_{X \in \GGG(f)} \hdim(X) \geq Q(f)=\inf_\Gamma \{Q \geq 2: \lambda(f_{\Gamma,Q}) \geq 1\}.\] The infimum is over all multicurves $\Gamma \subset S^2-P_f$. The map $f_{\Gamma,Q}: \R^\Gamma \to \R^\Gamma$ is defined by \[ f_{\Gamma, Q}(\gamma) =\sum_{[\gamma']\in\Gamma} \sum_{\delta \sim \gamma'} \deg(f:\delta \to \gamma)^{1-Q}[\gamma'],\] where the second sum is over all preimages $\delta$ of $\gamma$ freely homotopic to $\gamma'$ in $S^2-P_f$, and $ \lambda(f_{\Gamma,Q})$ is its Perron-Frobenius leading eigenvalue. This generalizes Thurston's observation that if $Q(f)>2$, then there is no $f$-invariant classical conformal structure.

1 :	Laboratoire d'Analyse, Topologie, Probabilités (LATP)
	CNRS : UMR6632 – Université de Provence - Aix-Marseille I – Université Paul Cézanne - Aix-Marseille III
2 :	Dept. of Mathematics
	Indiana University

Domaine

:

Mathématiques/Systèmes dynamiques

Mots Clés : postcritically finite – conformal dimension – finite subdivision rule – combinatorial moduli

hal-00152983, version 3

http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00152983

oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00152983

Contributeur : Peter Haissinsky <>

Soumis le : Vendredi 13 Juin 2008, 18:43:06

Dernière modification le : Vendredi 3 Juillet 2009, 16:54:50