L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (1766-1874).

Frederic Brechenmacher (1)

1 LML - Laboratoire de Mathématiques de Lens

What did "algebra" mean before the development of the algebraic theories of the 20th century ? This paper stresses the identities taken by the algebraic practices developped during the century long discussion around the equation around the equation of secular inequalities (1766- 1874). In 1874, a strong controversy on the theory of bilinear and quadratic forms opposed Camille Jordan and Leopold Kronecker. The arithmetical ideal of Kronecker faced Jordan's claim for the simplicity of his algebraic canonical form. As the controversy combined mathematical and historical arguments, it gave rise to the writing of a history of the methods used by Lagrange, Laplace and Weierstrass in a century long mathematical discussion around the "equation of secular inequalities".

Cet article questionne l'identité algébrique d'une pratique propre à un corpus de textes publiés sur une période antérieure à l'élaboration des théories algébriques, comme la théorie des matrices ou, plus généralement, l'algèbre linéaire, qui donneront à cette pratique l'identité d'une méthode de transformation d'un système linéaire par la décomposition de la forme polynomiale de l'équation caractéristique associée. Dans les années 1760-1770, Lagrange élabore une pratique algébrique spécifique à la mathématisation des problèmes mécaniques des petites oscillations de cordes chargées d'un nombre quelconque de masses ou de planètes sur leurs orbites. La spécificité de cette pratique s'affirme par opposition à la méthode des coefficients indéterminés, elle consiste à exprimer les solutions des systèmes linéaires par des factorisations polynomiales d'une équation algébrique particulière, l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes. Elaborée en un jeu sur les primes et les indices des coefficients des systèmes linéaires, la pratique de Lagrange est à l'origine d'une caractéristique des systèmes issus de la mécanique, la disposition en miroirs des coefficients de systèmes que nous désignons aujourd'hui comme symétriques. Elle est également à l'origine d'une discussion sur la nature des racines de l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires qui se développera sur plus d'un siècle. Nous questionnerons l'identité algébrique de cette discussion en étudiant les héritages, permanences et évolutions de la pratique élaborée par Lagrange aux seins de différentes méthodes élaborées dans des cadres théoriques différents par des auteurs comme Laplace, Cauchy, Weierstrass, Jordan et Kronecker. Nous verrons que, préalablement à l'élaboration d'une théorie des formes dont la nature, algébrique ou arithmétique, suscitera une vive controverse entre Jordan et Kronecker en 1874, le caractère algébrique de la discussion renvoie davantage à l'identité historique d'un corpus cohérent qu'à une identité théorique et s'avère indissociable d'une constante revendication de généralité. Entre 1766 et 1874, la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires permet de mettre en évidence différentes représentations associées à une même pratique algébrique ainsi que des évolutions dans les philosophies internes portées par les auteurs du corpus sur la généralité de l'algèbre.

Mots clés: History of mathematics; philosophy of mathematics; algebra; arithmétics; mécanics; spectral theory; bilinear forms; operators; canonical forms; elemenary divisors; differential equations.

Mots clés: Lagrange; Laplace; Darboux; Formbes bilinéaires; matrices; opérateurs; formes canoniques; invariants; diviseurs élémentaires; équations différentielles; problème des trois corps.; Histoire des mathématiques; philosophie des mathématiques; épistémologie; algèbre; arithmétique; mécanique; théorie spectrale; Jordan; Kronecker; Weierstrass; Frobenius; Cauchy

Domaines: Histoire, Philosophie et Sociologie des sciences; Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]

Frederic Brechenmacher. L'identité algébrique d'une pratique portée par la discussion sur l'équation à l'aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des planètes (1766-1874).. Sciences et techniques en perspective, 2008, IIe série, fasc. 1 (2007), p. 5-85. ⟨hal-00142791v3⟩